\chapter{实验几何}

几何学是研究“空间”的形体和性质的科学．“空间”
就是我们和万物以至星象天体共存的所在．在日常生活中，
我们举目四望所见到的地方，都是空间的一部分．同学们在
小学数学课中学过的柱体、锥体、球体等等，它们都各自占
有空间的一部分，并且构成不同的形体．各种形体的种种性
质，如各部分的长度、角度、面积，以及体积等等．都是在
我们的生活和生产实践中所不可缺少的知识．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\begin{scope}
	\draw (1.5,0) ellipse [x radius=1.5, y radius=.5];
	\shade (0,0) rectangle (3,4);
	\shade (1.5,4)[draw] ellipse [x radius=1.5, y radius=.5];
	\draw (0,0)--(0,4);
	\draw (3,0)--(3,4);
		\node at (1.5,-1.5){圆柱};

\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5.5cm]	
	\shade (1.5,0)[draw] ellipse [x radius=1.5, y radius=.5];
		\fill[gray!50] (0,0)-- (3,0)--(1.5,4)--(0,0);
		\draw (0,0)--(1.5,4)-- (3,0);
	

	\node at (1.5,-1.5){圆锥};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=12cm]
		\shade [draw, ball color =gray!20] (0,2) circle(2);
	\node at (0,-1.5){球};
\end{scope}
\end{tikzpicture}	
	\caption{}
\end{figure}

自古以来，人们经过实践、观察、分析，已总结出一
系列的有关空间方面的知识，例如，从中国、埃及、巴比
伦、玛雅等古文明中，可以看出对空间的知识都已掌握得
相当丰富了．对于空间知识有系统的研究，从西方的古文
明中可知，起始于古埃及和巴比仑，而在古希腊得到蓬勃
的发展，获得较辉煌的成就．大体说来，古希腊在空间知
识方面的成就，由欧几里得集其大成于他所著的《几
何原
本》\footnote{欧几里得（Euclid约公元前300年左右）所著此书原名Elements, 
	我国明代数学家徐光启（公元1562---1633)把书中部分几何内容
	译成中文定名为“几何原本”．“几何学”这个中文的名称即来源于
	此．}这部书中．在这部书里，欧儿里得把当时所知道的几何
知识经过整理，建立起一个初步完整的理论体系，使这部书反
映出几何学是一门偏重于推理、论证的高度理论性的科学．
但是，和任何其它科学一样，几何学的理论基础也是建
立在实验所得的一些基本事实之上的．在这一章里，我们就
通过实验、观察、归纳来研究所得到的知识，为以后进一
步学习论证几何作准备．

\section{点、直线和平面}
点、直线和平面是空间最简单的，也是最基本的图形．
同学们在日常生活中，对它们早已有直观的认识了．在这一
节里，我们再对它们的本质和相互关系作进一步的分析，确
立点、直线和平面这三个基本的几何概念，并总结点、直线
和平面之间相互关系方面的一些基本性质．

\subsection{点和直线}
在空间，最原始的，也是最基本的概念就是“位置”．
通常，我们就用“点”来标记“位置”．例如在一张地图
上，我们就以小圆点来标记各地的位置（见图1.2).你
可能发现，在地图上北京用“$\bigstar$”，南京用“$\bigcirc$”印制
的，这只是为了把首都和地方城市区别开来．其实，北京、
南京的．“位置”与地图上印制的图形“$\bigstar$”或“$\bigcirc$”的形状
和大小是没有关系的．这样，仅仅考虑“位置”，的图形就是
点．在天象图上也是以小圆点来标记各星体的位置的（见图1.3）

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-2.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
	\includegraphics[scale=.14]{fig/1-3.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}



在几何学的讨论中，我们用不同的大写字母$A,B,C,\ldots$
表示不同的点，如图1.4中的五个点，就在点旁分别标记
以$A$、$B$、$C$、$D$、$E$, 并分别读作点$A$、点$B$、点$C$、点
$D$、点$E$．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
   \tkzDefPoints{.5/1.5/A, -2/.2/B, -1/-1.5/C, 1/-1/D, 2/.2/E, 0/0/O}

\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E)
\tkzLabelPoints[left](B,C)
\tkzLabelPoints[right](A,D,E)
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
      \includegraphics[scale=.75]{fig/1-5.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}


在日常生活中，我们经常需要从一个地方走到另一个地
方．例如，同学们早起上学，就得由自己的家所在的位置走
到学校所在的位置．因此，在空间第二个原始的基本概念就
要算是“通路”了．所谓“通路”，就是从一个位置移到
另一个位置的路线．通常在地图上，我们用线来标记各地之
间的种种通路，如铁路、公路等．在几何学的讨论中，“线”
就是表示通路的．它的直观含义就是：一个“动点”由一
个位置移动到另一个位置所走过的“路线”．如图1.5所
示，设$A$、$B$两点分别表示空间的两个位置，那么连结$A$、$B$
两点的可能通路是很多很多的．

在通常情况下，大家都希望所要走的通路愈短愈好，所
以很自然的问题就是：

“在所有连结$A$、$B$两点的各种通路中，哪一条通路最
短？”

光线的存在，直截了当地显示给我们下述空间的基本性
质：

“连结A、B两点的最短通路唯一存在，它就是连结$A$、
$B$两点的\textbf{直线段}”（在均匀介质中，光走直线\footnote{由光学实验，我们知道光线其实走着最省时间的通路，而并不
	是走着最短的通路，再者，光的速度是随着“介质”而定的，例如在
	真空中走的最快，在空气中速度则稍慢（愈稀薄则其速度愈近于真空
	者），在水中则速度更慢，因为通常我们总是在均匀介质中观察光
	线，所以光线的速度是个不变的常数．这样，最省时间的通路也就是
	最短的通路．这就是我们常见常用的事实：光线在均匀介质中走直
	线．}）．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[<->, dashed, thick](-3,0)--(3,0);
\draw[very thick](-1.2,0)node[below]{$A$}--(1.2,0)node[below]{$B$};
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


如图1.6所示，由$A$点射向$B$点的光线可以由$A$向$B$的方
向无限延伸；而由$B$点射向$A$点的光线也可以由$B$向$A$的方向
无限延伸，所以对于空间任意两点$A$、$B$, 不但存在着唯一
的最短通路“直线段$AB$”，而且也唯一地确定了一条把直线
段$AB$两端无限延长的直线，这条直线就叫做由$A$、$B$两点所
确定的\textbf{直线}，通常称为“直线$AB$”，而直线段$AB$是直线$AB$
介于A、B两点之间的那一段．

归纳上面的讨论，我们可以作出如下的总结：

\begin{enumerate}
	\item “位置”和“通路”是两个最原始的空间概念．
在几何学中，以点表示位置，以线表示通路．
\item 对于任何两点$A$、$B$, 在所有连结、$AB$的可能通路
中，存在唯一的最短通路，就是连结$A$、$B$两点的直线段．
\end{enumerate}

直线段$AB$也简称线段$AB$, 以后我们用符号$\overline{AB}$表示线段
$AB$．点$A$, 点$B$叫做线段$AB$的\textbf{端点}．有时，一条线段也可以
用一个小写字母来表示，例如线段$a$、线段$b$等（图1.7(1)）．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
	\draw[|-|](0,0)node[left]{$A$}--(3,0)node[right]{$B$};
\draw[|-|](0,-1)--node[above]{$a$}(1.5,-1);
\draw[|-|](0,-2)--node[above]{$b$}(3,-2);
\node at (1.5,-2.5){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
	\draw[|-|](0,0)node[left]{$A$}--(3,0)node[right]{$B$};
	\draw[|-|](0,-1.5)node[left]{$A'$}--(3,-1.5)node[right]{$B'$};
	\node at (0,-2){$(A)$}; \node at (3,-2){$(B)$};
	\node at (1.5,-2.5){(2)};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-4cm]
	\draw[|-|](0,0)node[above]{$A$}--(3,0)node[above]{$B$};
	\node at (1.5,-2.5){(3)};
	\draw[|-|](0,-1.5)node[above]{$A'$}--(3,-1.5)node[above]{$B$};
	\draw[|-|](3,-1.5)--(4,-1.5)node[above]{$B'$};
	\node at (0,-2){$(A)$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm, yshift=-4cm]
	\draw[|-|](0,0)node[above]{$A$}--(3,0)node[above]{$B$};
	\node at (1.5,-2.5){(4)};
	\draw[|-|](0,-1.5)node[above]{$A'$}--(2,-1.5)node[above]{$B'$};
	\draw[|-|](2,-1.5)--(3,-1.5)node[above]{$B$};
	\node at (0,-2){$(A)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

把$\overline{AB}$放在$\overline{A'B'}$上面，使点$A$和点$A'$重合，$\overline{AB}$沿着
$\overline{A'B'}$方向落下，那么有以下三种可能情况：
\begin{enumerate}
	\item 点$B$和点$B'$重合，这时$\overline{AB}=\overline{A'B'}$ (图1.7(2));
	\item 点$B$落在$A'$和$B'$之间，这时$\overline{AB}<\overline{A'B'}$ (图1.7(3));
	\item 点$B$落在$\overline{A'B'}$的延长线上，这时$\overline{AB}>\overline{A'B'}$ (图1.7(4)).
\end{enumerate} 


有一根拉直的绳子$\overline{AB}$, 如果把它分成长度相等的两段．
但是不许用尺来量，应怎么办？

同学们一定会想到，把绳子$\overline{AB}$
的两端点$A$、$B$重叠在一起，并且把绳子拉直，那么在绳子的中间就折出一
个$C$点来（图1.8(2)), 而被折成
的两段绳子$\overline{AC}$和$\overline{CB}$恰好长度相等，这就是说$C$点把$\overline{AB}$平分
了．所以我们把平分线段的点叫做\textbf{线段的中点}．如果点$C$是
$\overline{AB}$的中点，则$\overline{AB}=2\overline{AC}=2\overline{CB}$.

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
	\draw (0,0)node[above]{$A$}--(3,0)node[above]{$B$};
	\draw (0,-1)node[below]{$A$}--(1.5,-1)node[below]{$C$};
	\draw [dashed](1.5,-1)--(3,-1)node[below]{$B$};
	\node at (4,0){(1)};\node at (4,-1){(2)};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
      \draw(0,0)node[left]{$A$}--(5,0)node[right]{$B$};
\tkzDefPoints{1/0/M, 2/0/C, 3.5/0/N}
\tkzDrawPoints(M,C,N)
\tkzLabelPoints[above](M,N)
\tkzLabelPoint[below](C){$C$}
\draw[|<->|, dashed](0,-1)--node[fill=white]{24厘米}(5,-1);


    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}



\begin{example}
	已知$\overline{AB}=24$厘米，点$C$在$\overline{AB}$上，点$M$、$N$分别是
	$\overline{AC}$和$\overline{CB}$的中点，求$\overline{MN}$的长度（见图1.9）．
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
	\overline{MN}&=\overline{MC}+\overline{CN}=\frac{1}{2}\overline{AC}+\frac{1}{2}\overline{CB}\\
	&=\frac{1}{2}\left(\overline{AC}+\overline{CB}\right)=\frac{1}{2}\overline{AB}=12\text{厘米}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} 
	\item 线段可以向两端无限延长，这样就得到一条直线．一条直线可以用表示它上面任
	意两点的大写字母来表示，如直线$CD$. 有时为了简便，也可
	以在这条直线旁标以一个小写字母，如$\ell$，表示成
	直线$\ell $ (图1.10)．
	\item 对于任何两点$A$、$B$, 都存在着唯一一条通过$A$、$B$
	的直线．这个性质就简述为：\textbf{两点确定一条直线}．
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(5,0)node[right]{$\ell$};
\tkzDefPoints{1.5/0/C, 3.5/0/D}
\tkzDrawPoints(C,D)
\tkzLabelPoints[below](C,D)
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

根据上述性质，我们可以说明其它有关的性质和问题．

\begin{example}
	如果两条直线$\ell$和$m$有一个公共点（交点）$A$（图1.11），它们还能有其它的公共点吗？为什么？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.7]
		\draw (-3,1)node[left]{$\ell$}--(3,-1);
\draw(-3,-1)node[left]{$m$}--(3,1);
\node at (0,0)[below]{$A$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
除$A$点外，直线$\ell$和$m$不
能再有其它的公共点了．

因为，如
果还有另一个公共点$B$, 那么，$\ell$和$m$就都是通过$A$、$B$两点的直线．
但是通过$A$、$B$两点只有唯一的一条
直线，于是，$\ell$和$m$就是通过$A$、$B$两点的那条唯一的直线，
它们就不是两条不同的直线了．所以，它们除了$A$点外，不
可能再有其它的公共点了．

这件事实可以简述为：\textbf{两条相交直线确定一交点}．
\end{solution}


\begin{example}
	图1.12表示人和物之间放一隔板，使人不能直接
看到物的示意图，$A$表示物，$E$表示人眼，$\overline{BC}$表示隔板．为
了能看见物的形象，放置一面镜子，图中$g$表示镜面，这时
按图1.12(1)中隔板$\overline{BC}$的位置来说，人眼$E$便能看见物A的形象，这是为什么？但按图1.12(2)隔板$\overline{BC}$的位置
来说，人眼$E$便不能看到物$A$的形象，这又是为什么？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\draw(0.5,0)node[left]{$g$}--(4.5,0);
\draw (1,1)node[above]{$A$}--(2,0)node[below]{$D$}--(4,2)node[right]{$E$};
\draw[dashed] (1,1)--(1,-1)node[below]{$A'$}--(2,0);
\node at (2.5,-2){(1)};
\draw[very thick](3,2.7)node[left]{$B$}--(3,1.2)node[left]{$C$};
\draw[->](1,1)--(1.5,.5); \draw[->](2,0)--(3.5,1.5);
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=6cm]
	\draw(0.5,0)node[left]{$g$}--(4.5,0);
	\draw (1,1)node[above]{$A$}--(2,0)node[below]{$D$}--(4,2)node[right]{$E$};
	\draw[dashed] (1,1)--(1,-1)node[below]{$A'$}--(2,0);
	\node at (2.5,-2){(2)};
	\draw[very thick](3,2)node[left]{$B$}--(3,.5)node[right]{$C$};
	\draw[->](1,1)--(1.5,.5); \draw[->](2,0)--(2.5,.5);
	\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
	按照镜面映象的道理，人眼$E$是从入射线$AD$和反射线$DE$看见$A$的形象的，而点$D$是点$E$和点$A$的象$A'$的连线
	$EA'$和$g$的交点，所以$A$的象$A'$是沿着直线$A'E$映入人眼
	$E$的．因为通过$A'$和$E$只有唯一的一条直线，于是$A'E$和隔板
	$\overline{BC}$不交（图1.12(1)）时，在$E$处就看得见$A$的象$A'$, $A'E$和
	$\overline{BC}$相交，也就是被隔板$\overline{BC}$挡住（图1.12(2)）时，在$E$处
	便看不见$A$的象$A'$了．
\end{solution}

\begin{example}
	如果在已知$\overline{AB}$上依次取99个点（$C_1,C_2,C_3,\ldots,C_{99}$），那么$\overline{AB}$上一共有多少条以这些点为端点的线
	段？（$\overline{AB}$也计算在内）
\end{example}	

\begin{solution}
	我们分以下几步来研究这个问题：

	第一，先进行观察、实验．因为每两个点就确定一条线段．因此，
\begin{enumerate}
	\item 在$\overline{AB}$上取一个点$C_1$时，我们看到图1.13(1)中共
	有3条线段$\overline{AB}$、$\overline{AC_1}$和$\overline{C_1B}$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[yscale=1.3]
\foreach \x/\xtext in {0/(1),-1/(2),-2/(3),-3/(4),-4.5/(99)}
{
	\draw[|-|] (0,\x)node[below]{$A$}--(8,\x)node[below]{$B$};
	\node at (9,\x){$\xtext$};
}

\draw(2,0)node[below]{$C_1$}--(2,.1);
\draw(1.5,-1)node[below]{$C_1$}--(1.5,-1+.1);
\draw(3,-1)node[below]{$C_2$}--(3,-1+.1);

\foreach \x/\xtext in {1/C_1,2.5/C_2,4/C_3}
{
	\draw(\x,-2)node[below]{$\xtext$}--(\x,-2+.1);
}

\foreach \x/\xtext in {1/C_1,2.5/C_2,4/C_3, 5/C_4}
{
	\draw(\x,-3)node[below]{$\xtext$}--(\x,-3+.1);
}

\foreach \x/\xtext in {1.2/C_1,2/C_2,3.5/C_3,7/C_{99}}
{
	\draw(\x,-4.5)node[below]{$\xtext$}--(\x,-4.5+.1);
}
\node at (4,-3.8){$\vdots$};\node at (9,-3.8){$\vdots$};

\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\item 在$\overline{AB}$上取两个点$C_1$、$C_2$时，我们看到图1.13(2)
中共有6条线段$\overline{AB}$、$\overline{AC_1}$、$\overline{C_1B}$、$\overline{AC_2}$、$\overline{C_2B}$和$\overline{C_1C_2}$.
\item 在$\overline{AB}$上取三个点$C_1$、$C_2$、$C_3$时，我们看到图1.13(3)中有10条线段（请同学们自己找出来）．
\end{enumerate}

第二，列表分析找规律
\begin{center}
	\begin{tabular}{cc}
\hline
$\overline{AB}$上取的点数 & $\overline{AB}$上线段的总数\\
\hline
1&3\\
2&6\\
3&10\\
$\vdots$&$\vdots$\\
99& ?\\
\hline
	\end{tabular}
\end{center}

从表上发现：
\begin{itemize}
\item 在$\overline{AB}$上取1个点时，$\overline{AB}$上的线段总数$3=1+2$,
\item 在$\overline{AB}$上取2个点时，$\overline{AB}$上的线段总数$6=1+2+3$,
\item 在$\overline{AB}$上取3个点时，$\overline{AB}$上的线段总数$10=1+2+3+4$．
\end{itemize}

这时，如果在$\overline{AB}$上取4个点，那么$\overline{AB}$上共有多少条线段
呢？由上面发现的规律，可以猜想是$1+2+3+4+5=15$, 数
一下图1.13(4)中的线段数，恰好是15条．这样自然要
问：当在$\overline{AB}$上取99个点时，将会有怎样的结果呢？

第三，归纳、计算

如果在$\overline{AB}$上取99个点，设这时$\overline{AB}$上的线段总数为$S$，
由在第二中发现的规律，不难得出：
\[S=1+2+3+4\cdots +(99+1)=1+2+3+4\cdots +100\]

这是一个很有趣的计算题，如果按顺序加起来，计算是
很麻烦的，我们动动脑筋能否有简便的计算方法呢？

由于$S=1+2+3+\cdots +98+99+100$，也就是：
\[S=100+99+98+\cdots +3+2+1\]
$\therefore\quad 2S=\underbrace{101+101+101\cdots+101+101+101}_{100\text{项}}=100\x 101$

$\therefore\quad S=\frac{100\x 101}{2}=5050$
\end{solution}

\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\tkzDefPoints{0/0/B, 6/0/C, 5/3/D, 2/3/A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzLabelPoints[left](A,B)
\tkzLabelPoints[right](C,D)
\draw(B)--(D);\node at (3.2,1.8)[below]{$O$};
\draw(A)--(C);		
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第1题}
\end{figure}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 图中有几条线段，把它们都写出来．
	\item $A$、$B$、$C$三点不在一条直线上，通过其中任何两点画一
	条直线，一共能画出几条直线？
	\item $A$、$B$、$C$、$D$四点中，任何三点都不在一条直线上，通过
	其中任何两点画一条直线，一共能画出几条直线？
	\item 如果$A$、$B$、$C$、$D$、$E$五点中任何三点都不在一条直线
上，通过其中任何两点画一条直线，那么一共能画多少条直线？
	\item 如果有100个点，其中任何三点都不在一条直线上，通
	过其中任何两点画一条直线，那么一共能画多少条直线？
	\item 工人师付在用方砖铺地时，常常打两个木桩，拉线来铺
	砖，这样砖就铺得整齐，这是根据了什么道理？
\item 如果有两个小孩甲、乙在对话，甲问乙：“你的家住在哪
里？”乙回答说：“我的家住在直线$AB$的尽头．”试问
你能沿着直线$AB$找到乙的家吗？为什么？
\item 参看例1.4的归纳、计算，如果在$\overline{AB}$上取$n$个点．那么
$\overline{AB}$上一共有多少条线段？（$\overline{AB}$也计算在内）
\item 已知：$\overline{MN}=100$米，$P$点在$\overline{MN}$上，$\overline{MP=45}$米，$S$点是
$\overline{PN}$的中点，求$\overline{PS}$的长度是多少米？
\item 在例1.1中，$\overline{MN}$的长度与$C$点在$\overline{AB}$上的位置有无
关系？
\end{enumerate}
\end{ex}


\subsection{长度的度量}
在给定两点$A$、$B$之间的所有通路之中，以$AB$为最短，
它的“长度”就叫做$A$、$B$\textbf{两点间的距离}．所以，两点间的
距离是连结这两点的线段的长．

长度是我们经常用的一种几何量，现在让我们分别从实
用和数学的观点稍微细致地分析一下“长度”这种几何量的
直观含义，并且谈一谈长度的度量．

一般来说，常用的量基本上可以归成两类：其中一类，例
如一群羊、一堆蛋，它们具有天然的个别单元，即一只羊、一
个蛋．处理这种量，我们只要去数一数它们的“个数”就可以
了．因为它们是可数的．用来数“个数”的数学体系就是我
们在代数学中一开始就详加讨论的自然数系：$\{1,2,3,\ldots\}$. 另一类，例如我们现在要讨论的长度等，这种量虽然不具有
天然个别单元，但是，具有一个基本特点：可以无限细分．
例如，任给一个线段，不管它怎样短，还是可以把它分割成
更短的线段．因此，这种量不可能有天然不可分割的单元，
我们处理这种量的办法就是度量．

因为长度这种量并不具有天然不可分割的单位，所以，
我们只好选用人为的长度单位．例如“米”就是世界上通用
的长度单位．取定长度单位以后，要度量一条线段的长度，
也就是要求得它和长度单位之间的“比值”．例如取定长
度单位为米，所求得的比值是1237:1000,就说这条线段的长
度是1.237米．但是在实践中，这个比值是怎样求出来的
呢？先举几个简单的实例看一看．

\begin{example}
设长度单位是$u$, 所要度量的线段是$a$ (图1.14).
线段$a$恰好可以分割成5段和$u$等长的线段，那么所求的比
值是5, $a$的长度就是$5u$. 

一般地说，如果所要度量的线段$a$恰好可以分割成$m$段
和$u$等长的线段，那末所求的比值就是整数$m$, $a$的长度就是$mu$.
\end{example}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
       \draw [|-|](0,0)--(1,0);
	   \draw [|-|](0,-1)--(5,-1);
	   \node at (-.5,0){$u:$};
	   \node at (-.5,-1){$a:$};
	   \foreach \x in {1,2,3,4}
	   {
\draw (\x,-1)--(\x,-.9);
	   }
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
		\draw [|-|](0,0)--(3,0);
		\draw [|-|](0,-1)--(1,-1);
		\node at (-.5,0){$u:$};
		\node at (-.5,-1){$b:$};
		\foreach \x in {1,2}
		{
 \draw (\x,.1)--(\x,0);
		}
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\begin{example}
设长度单位是$u$, 所要度量的线段是$b$ (图1.15) 单
位长$u$恰好可以分割成3段和$b$等长的线段，那么所求的比
值是$\frac{1}{3}$, $b$的长度就是$\frac{1}{3}u$. 

一般地说，如果长度单位$u$恰
好可以分割成$n$段和$b$等长的线
段，那么所求的比值是$\frac{1}{n}$
，$b$的长度就是$\frac{1}{n}u$
\end{example}

\begin{example}
	设长度单位是$u$, 所要度量的线段是$c$ (图1.16). $c$比$4u$长些，但又比$5u$短些，如果我们把$u$三等分，
	线段$c$截取4段$u$后所余的一段恰好是$\frac{1}{3}u$的2倍，那么c的
	长度就是$4\frac{2}{3}u$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[|-|] (0,0)node[left]{$b:$}--(4.667,0);
\draw[|-|] (0,1)node[left]{$v:$}--(1,1);
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

一般地说，如果把长度单位$u$适当地等分成$n$段，即每
一段$u'$的长度是$\frac{1}{n}\cdot u$, 所要量的线段$c$恰好可以分割成
$m$段和线段$u'$等长的线段，那么$c$的长度就是$\frac{m}{n}u$．

在例1.7中，用长度单位$u$去度量$c$时，怎样才能知道在$c$
上截取4段$u$后，所余的一段恰好是$u$的$\frac{1}{3}$的整数倍？实际上
可以这样来确定：在$c$上截取4段$u$后，以所余的一段$\overline{C_4D}$去
量$u$, 在$u$上截去一段$\overline{C_4D}$后，所余的一段$\overline{U_1V}$又较$\overline{C_4D}$短，
这时再以$\overline{U_1V}$去度量$\overline{C_4D}$, 恰好$\overline{C_4D}$是$\overline{U_1V}$的2倍．这样便
看出$\overline{U_1V}$是$u$的$\frac{1}{3}$，把$u$三等分后，$\overline{C_4D}$就恰好是$\frac{1}{3}u$的2
倍了．
\end{example}

\begin{example}
	设长度单位是$u$, 求线段$d$的长度（图1.17）．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[xscale=4]
	\draw[|-|] (0,1)node[left]{$u:$}--(1,1)node[below]{$V$};
	\draw[|-|] (0,0)node[left]{$d:$}--(2.42,0)node[right]{$E$};
	\draw(1,0)--(1,.1); \draw(2,0)node[below]{$D_2$}--(2,.1);
	\draw(2.333,0)node[below]{$F_2$}--(2.333,.1);
	\draw(.42,1)--(.42,1.1);  \draw(.84,1.1)--(.84,1)node[below]{$U_2$};
	\draw(2.16,0)--(2.16,0.1);
	\draw(.84+.08,1.1)--(.84+.08,1);
\end{tikzpicture}	
	\caption{}
\end{figure}
\end{example}

\begin{solution}
	在$d$上用圆规截取2段$u$后，所余的一段$\overline{D_2E}$较$u$
短；在$u$上截取2段$\overline{D_2E}$后，所余的$\overline{U_2V}$较$\overline{D_2E}$短；在$\overline{D_2E}$
上截取2段$\overline{U_2V}$后，所余的一段$\overline{F_2E}$较$\overline{U_2V}$短；但$\overline{U_2V}$恰
好是$\overline{F_2E}$的2倍．于是
\[\begin{split}
	\overline{D_2E}&=\overline{D_2F_2}+\overline{F_2E}=2\overline{U_2V}+\overline{F_2E}\\
&=2\cdot 2\overline{F_2E}+\overline{F_2E}=5\overline{F_2E}
\end{split}\]
\[u=2\overline{D_2E}+\overline{U_2V}=2-5\overline{F_2E}+2\overline{F_2E}=12\overline{F_2E}\]
$\therefore\quad \overline{F_2E}=\frac{1}{12}u,\quad \overline{D_2E}=\frac{5}{12}u,\quad d=2\frac{5}{12}u$
\end{solution}


由例1.7和例1.8可以看出，当被度量线段（$c$和$d$）不能恰好
被分割而成为长度单位的整数倍，也就是它们不能被长度单
位量尽时，都是求出另一条线段（例1.7中是$\overline{U_1V}$, 例1.8中是$\overline{F_2E}$），使得它能量尽长度单位和被量线段．再按例1.6的方
法求出以长度单位为单位的这条线段的长度，然后便可求出
原来被量线段的长度了．

能够量尽两条线段$a$和$b$的线段，我们叫它做线段$a$和$b$的
\textbf{公度}．两条线段的公度中最长的，叫做\textbf{这两条线段的最大公
度}．$\overline{U_1V}$和$\overline{F_2E}$就分别是线段$u$和$c$, $u$和$d$的最大公度．在
例1.5中线段$u$就是线段$u$和$a$的最大公度；例1.6中的线段$b$就是线
段$u$和$b$的最大公度，象例1.7、例1.8中求线段$u$和$c$、$u$和$d$的最
大公度的方法，叫做\textbf{辗转相截法}．

通过上面各例，我们很自然地会想到：任何两条线段
$a, b$, 它们的长度比值是否总是一个分数（整数也可看作
分数）？换句话说，对于任何两条线段$a$、$b$, 是否存在着它
们的公度？

这个问题从正、反两面来分析它的重要性．首先，如果
任何两条线段的长度的比值总是一个分数，那么分数全体
（即代数开始所讲的有理数）就足以处理长度的度量问题
了．其次，反过来说，如果两条线段的长度的比值不一定是
分数，那么有理数就不足以处理长度的度量问题．因而我们
就得学会一种含有“非分数”的数系才能充分解决度量问
题．这个问题是整个数学发展史上的一件大事，我们以后再
详细讨论．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 已知线段$a$、$b$、$u$, 其中线段$a=9u$, $b=3u$, 问线段$a$、$b$的最大公度是线段$u$的几倍？
	\item 已知线段$a=48$毫米，$b=18$毫米．先用辗转相截法求出
	$a$、$b$的最大公度，并量它等于多少毫米；再用求最大公
	约数的辗转相除法求出48、18的最大公约数．比较前后所得
	的结果．
	\item 根据图形填写下面空白：
\begin{enumerate}
	\item $\overline{AC}=\overline{BC}+(\qquad)$	
	\item	$\overline{CD}=\overline{AD}-(\qquad)$	
	\item $\overline{AC}+\overline{CD}=(\qquad)+\overline{BD}$
\end{enumerate}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\draw[|-|](0,0)node[below]{$A$}--(5,0)node[below]{$D$};
	\draw[|-|](2,0)node[below]{$B$}--(4,0)node[below]{$C$};	
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{直线和平面}
在空间，另一种常见的形象就是各种各样的面．例如地
球的表面，它的整体看起来是一个略为扁平的球面，而局部
的形象又随着当地的地貌而不同．有的地方是一片原，有
的地方是起伏的丘陵，有的地方是一片湖面，也有的地方是
崇山峻岭和深谷．又如教室的一面墙壁，上课用的黑板，以
及桌面等，看起来又都是“平直”的面．

通常检查一个桌面是否“平直”，最简单的方法就是用一
根直尺放在桌面上（图1.18），如果放在任何位置上，直
尺的边都和桌面密合，那么桌面就是“平直”的．我们就说
桌面是平面．但是象图1.19的面上，虽然直尺放在$\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$等位置时，直尺边和这个面密合，而在$AB$位置上直尺
边和面就不密合了．这就是说并不是在任何位置上直尺的边
总和这个面密合，这个面不是一个平面，实际上是一个曲
面．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
	\includegraphics[scale=.8]{fig/1-18.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
	\includegraphics[scale=.8]{fig/1-19.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

在几何学的讨论中，平面就是一个到处平直而且向各个
方向无限延展的面，它的特点就是在它上面任取两点$A$和$B$
（图1.20），直线$AB$就完全在这个平面内．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, yscale=1.5, x={(0:1cm)}, y={(60:.5cm)}]

\draw (0,0)--(4,0)--(4,3)--(0,3)--(0,0);
\foreach \x in {.5,1.5,...,3.5}
{
	\draw[->](\x,0)--(\x,-1);
	\draw[->](\x,3)--(\x,4);
}
\foreach \x in {.5,1.5,2.5}
{
	\draw[->](0,\x)--(-1,\x);
	\draw[->](4,\x)--(5,\x);
}

\tkzDefPoints{1/2.2/A, 2.8/.75/B}
\tkzDrawLine(A,B)
\tkzDrawPoints(A,B)
\tkzLabelPoints[right](A,B)

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw(0,0) rectangle (2,3);
\draw[fill=white](0,0)--(-30:1.8)--+(0,3)--(0,3)--(0,0);
\draw(0,0)--(-140:1.5)--+(0,3)--(0,3);
\draw[dashed,->](0,0)--(0,-1);
\draw[dashed](0,0)--(2,0);
\draw[dashed,->](0,3)--(0,4)node[right]{$\ell$};
\node at (0,1.5)[right]{门轴};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

我们观察一扇门，把它看作平面的一部分，那么它的轴
线既在墙壁的平面内（图1.21），又在这扇门所在的平面
内，不可能连结两个“合页”的直线不都在这两个平面内．推动这扇门，它每到一个新的位置都表现了通过轴线的一个平面．这些事实说明了：
\textbf{空间相交的两个平面的“交界”是一条直
线．通过一条直线可有无数个平面．}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 举出一条直线和一个平面没有公共点的实例，以及一条直
	线和一个平面只有一个公共点的实例．
	\item 一点在一平面内，而其它的点都不在这个平面内，这种实例有\item 举出两个平面没有公共点的实例．
	\item 两个平面只有一个公共点的实例存在吗？
	\item 如果空间被平面$\alpha$分成的两部分之一中，有一只小虫子$A$，这只小虫子$A$要爬到	被平面所分空间的另一部分去，假如它
	不穿过平面$\alpha$，能过去吗？为什么？
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ex}

同学们作这样一个实验，张开手指，使拇指、食指和中指的尖
这三点不在一条直线上，拿一张硬纸（它代表一个平
面）往三个指尖上放，看看它是否能同时通过三个指尖？再
拿一张硬纸仍然这样放，看这两张硬纸是否重合？这种特点
对于一个指尖，两个指尖也适合吗？再使母指、食指、中
指，无名指的指尖这四点不在一条直线上，看看能否保证总
有一张硬纸同时通过这四点？仿照“两点确定一条直线”的
特点，同学们能否总结出几个点确定一个平面的结论？

通过上面的实验，我们得出平面的另一个基本性质：
\textbf{空间不共线三点确定一个平面．}

同学们还可进一步思考以下的问题：
\begin{enumerate}
	\item 一直线及直线外一点能确定一个平面吗？
	\item 相交的两条直线能确定一个平面吗？
\end{enumerate}

\section*{习题1.1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.1}
\begin{enumerate}
	\item 什么是线段？什么是直线？两者有什么区别？
	\item 什么是线段的中点？如果有一根笔直的铁棍，
	假如用$\overline{AB}$
	来表示它，不用尺量，也不许把它折弯，你有没有办法找
	出$\overline{AB}$所表示的这根铁棍的中点来？
	\item 请同学们复习一下小学学过的公制、市制两种长度单位，
	并填下表：
	\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
	1公里(km)$=\underline{\qquad}$米(m) &\qquad 1里$=\underline{\qquad}$丈\\
1米(m)$=\underline{\qquad}$分米(dm)&\qquad 1丈$=\underline{\qquad}$尺\\
1分米(dm)$=\underline{\qquad}$厘米(cm)&\qquad 1尺$=\underline{\qquad}$寸\\
1厘米(cm)$=\underline{\qquad}$毫米(mm)&\qquad 1寸$=\underline{\qquad}$分
\end{tabular}		
	\end{center}

	\item 	求出下列结果，并化成括号中指定的长度单位：
\begin{enumerate}
\item 5尺4寸5分 $+$ 3尺4寸 $+$ 6尺7寸8分$=\underline{\qquad}$（米）；
\item 46厘米 $+$ 1米60厘米 $+$ 7米50厘米$=\underline{\qquad}$（尺）；
\item 4丈5尺6寸$\x3=\underline{\qquad}$（米）；
\item 5米40厘米$\div 1000=\underline{\qquad}$（毫米）；
\item 20mm$\x0.1\%=\underline{\qquad}$（m）
\end{enumerate}

\item 在一条直线上，顺次取$A$、$B$、$C$三点，使$\overline{AB}=4$cm, $\overline{BC}=2$cm, 并且取$\overline{AC}$的中点$O$, 求：
\begin{multicols}{3}
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{AO}$的长
		\item $\overline{OB}$的长
		\item $\overline{OC}$的长
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}
	\draw (0,0)--(8,0);
\tkzDefPoints{1/0/A,5/0/B,7/0/C, 4/0/O}
\tkzDrawPoints(A,B,C,O)
\tkzLabelPoints[below](A,B,C,O)	
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第5题}
\end{figure}

\item 把一条32cm的线段分成三段，中间的一段长为8cm,问
第一段中点到第二段中点的距离等于多少cm?
\item 图中表明四个点可以确定一条、四条或者六条直线．试
划图说明五个点可以确定1、5、6、8或10条直线（其它情
况不存在）．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
	\begin{scope}
		\draw (0,0)--(5,0);
		\tkzDefPoints{1/0/P_1,2/0/P_2,3/0/P_3, 4/0/P_4}
		\tkzDrawPoints(P_1,P_2,P_3,P_4)
		\tkzLabelPoints[above](P_1,P_2,P_3,P_4)	
	\end{scope}
	\begin{scope}[yshift=-2cm]
		\tkzDefPoints{1/0/P_2,2/0/P_3,3/0/P_4, 2/-1/P_1}
		\tkzDrawLines[add=.8 and .8](P_2,P_4 P_3,P_1 P_2,P_1 P_1,P_4)
		\tkzDrawPoints(P_1,P_2,P_3,P_4)
		\tkzLabelPoints[above right](P_1,P_2,P_3,P_4)	
	\end{scope}
	\begin{scope}[yshift=-2cm, xshift=6cm]
		\tkzDefPoints{.5/0/P_1,3.5/0/P_3,2/1.5/P_4, 2/-1.5/P_2}
		\tkzDrawLines[add=.5 and .5](P_2,P_4 P_3,P_1 P_2,P_1 P_1,P_4 P_2,P_3 P_3,P_4)
		\tkzDrawPoints(P_1,P_2,P_3,P_4)
		\tkzLabelPoints[above right](P_1,P_2,P_3,P_4)
	\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第7题}
\end{figure}

\item 在三角形$ABC$的$\overline{BC}$边上如果取$n$个点$P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n$，
并把这$n$个点分别和$A$点连结起来，就出现很多三角形，
试研究三角形的总数有多少？（原来的三角形$ABC$也包括
在内）．

（提示：$\overline{BC}$上每一条线段都
可与$A$点构成一个三角形，因此
求三角形的总数实际上就是求
$\overline{BC}$上线段的总数）．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
	\tkzDefPoints{0/0/B, .5/0/P_1,1.5/0/P_2,3/0/P_n, 4/0/C, 1.5/2/A}
	\tkzLabelPoints[below](P_1,P_2,P_n,B,C)	
	\tkzDrawSegments(A,B A,P_1 A,P_2 A,P_n A,C B,C)
	\tkzLabelPoints[above](A)	
\end{tikzpicture}
	\caption*{第8题}
\end{figure}

\end{enumerate}

\section{方向、角度与平行}
\subsection{方向与角}
当我们在平坦的操场上要从一个位置（以$A$点表示）走
到另一个位置（以$B$点表示），经验告诉我们最省事的走法
是：“由$A$点朝向$B$点一直走”．（图1.22）

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, yscale=.6]
\draw(1,4)--(7,4)--(6,0)--(0,0)--(1,4);
\draw[->](1,1)node[left]{$A$}--(1.5,1.25);
\draw[->](2,1.5)--(2.5,1.75);
\draw[->](3,2)--(3.5,2.25);
\draw[->](4,2.5)--(4.5,2.75);
\draw[->](5,3)--(5.5,3.25)node[right]{$B$};
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

上面这种常用的走法，很明显地突出了“方向”这个常
用的基本几何概念．再设想我们是正在茫茫大海中航行的船
的舵手，或者是一架越洋飞行的飞机的驾驶员，那么“方向”这
个概念就更是至关紧要的了！因为“航行的方向”是我们随
时要确切掌握的要素！

现在让我们就上面的实例，对于所涉及的“方向”这个
概念的直观含义，稍加分析．

假如我们从操场的$A$点走向$B$点去（图1.23），最省事
的“通路”当然就是$\overline{AB}$（因为它是最短的通路）．所以
我们先站在$A$点，向$B$点望一望，头脑中抽象地计画了所要
走的路线应该是直线段（图中虚线所示）．然后便一步步
地沿着设想的路线$\overline{AB}$向$B$点一直走．从几何的观点看，每跨
一步就沿着某一个方向做了一个和自己步幅等长的“有向线
段”．所以说，“由$A$点朝向$B$点一直走的走法”就是每一
步都是沿着$\overline{AB}$这个固定的方向走的那种走法．


\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, yscale=.6]
	\draw(1,4)--(7,4)--(6,0)--(0,0)--(1,4);
	\draw[->](1,1)node[left]{$A$}--(1.5,1.25);
	\draw[->](2,1.5)--(2.5,1.75);
	\draw[->](3,2)--(3.5,2.25);
	\draw[->](4,2.5)--(4.5,2.75);
	\draw[->](5,3)--(5.5,3.25)node[right]{$B$};
	\draw[dashed](1,1.2)--(5.5,3.45);
\node at (4,2.7)[above]{$P_n$};
\node at (4.5,2.95)[above]{$P_{n+1}$};

\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

在由$A$点可以直接看到$B$点的情形下，要保持每一步的
方向都是正对着$B$点的方向是很简单的．因为我们随时可以用
目光把行进中的位置（图1.23中的$P_n$点）和$B$点连一条直
线，这条直线的方向也就是下一步（图1.23中的$P_nP_{n+1}$)
所要走的方向．但是在另外两个设想的航海和飞行的实例
中，目的地是遥远而看不到的，而计划中要走的航线，所经
过的绝大部分都是“漫无边际”的海洋和天空，毫无可供
“瞄准”的标志．所以要随时保持航行的方向的正确性就变
成确保安全到达目的地的最重要的依据了．

由$A$点出发，沿着一个固定的方向（比如向着$B$点的方
向）前进时，它的路线就是一条\textbf{射线}．如图1.24所示，
它就是居于$A$点右侧的那条半直线．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
       \draw[->, thick](0,0)--(3,0);
	   \draw[dashed](-2,0)--(0,0);
	   \tkzDefPoints{0/0/A,1.5/0/B}
	   \tkzDrawPoints(A,B)
	   \tkzLabelPoints[below](A,B)		   
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
      \draw[->, thick](0,0)node[left]{顶点}--node[below]{边}(4,0);
	  \draw[->, thick](0,0)--node[above]{边}(30:4);
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

所以我们把直线上一点一旁的部分叫做\textbf{射线}，这一点叫
做射线的\textbf{端点}．例如射线$AB$（图1.24）．（注意：表示射
线时，射线的端点字母必须写在前面）．在几何中，我们把
以$A$点为端点的一条射线看作是由$A$点出发的一个方向．

我们把从同一端点引出的两条
射线所组成的图形叫做\textbf{角}，这个共同的端点叫做角的\textbf{顶点}，这两条射线分别叫做角的\textbf{边}．我们把角看成
是由构成这个角的两条射线所表示的方向差（图1.25）．

一个角通常用符号“$\angle$”（读作角）后边带三个大写字
母来表示，中间一个字母表示角的顶点，两旁的两个字母分
别表示角的两边上的任意点，如图1.26(1)中的角可记作
$\angle AOB$, 读作“角$AOB$”．如果用一个点作顶点的角只有
一个，这个角也可以只用表示顶点的那个大写字母来表示，
如图1.26(1)的$\angle AOB$也可表示为$\angle O$．有时，为了方
便，还可以在角的里面靠近顶点写个数字、或小写希腊字
母表示角，如图1.26(2)(3)中的$\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$和$\angle \alpha$、$\angle \beta$、$\angle \gamma$等．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\begin{scope}
\draw(-1,.5)node[left]{$A$}--(0,0)node[right]{$O$}--(-1,-.5)node[left]{$B$};
\node at (-.5,-1){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=1.3cm]
	\tkzDefPoints{0/.5/O, -1/-.5/A, -.5/-.7/B, .5/-.7/C, 1/-.5/D}
	\tkzDrawSegments(O,A O,B O,C O,D)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](A,O,B C,O,D)
	\tkzLabelAngle[pos=.5](A,O,B){1}
	\tkzLabelAngle[pos=.5](B,O,C){2}
	\tkzLabelAngle[pos=.5](C,O,D){3}
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B,O,C)
	\node at (0,-1){(2)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=3.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/O, -1/.5/A, 1/-.5/B, 1/.5/C, -1/-.5/D}
	\tkzDrawSegments(A,B C,D)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.2](C,O,A D,O,B)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](A,O,D)
	\tkzLabelAngle[pos=.3](D,O,B){$\gamma$}
	\tkzLabelAngle[pos=.4](A,O,D){$\beta$}
	\tkzLabelAngle[pos=.3](C,O,A){$\alpha$}
	\node at (0,-1){(3)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

当一个角的两条边重合时，其夹角显然为$O$（即方向
没有差别）．另外一种特殊情形是当角的一边是另一边的反
向延长线时，就称这个角为\textbf{平角}．
如图1.27中射线$CA$和射线$CB$的
方向相反，那么$\angle ACB$就是一个平角．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw[<->](0,0)--(5,0);
\tkzDefPoints{1/0/B,2.5/0/C,4/0/A}
		\tkzDrawPoints(A,B,C)
		\tkzLabelPoints[below](A,B,C)	
		\draw[->](3,0) arc (0:180:.5);
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7]
    \foreach \x in {-20,-10,...,20}
	{
		\draw(0,0)--(\x:5);
	}
	\draw[->](0,0)node[left]{$A$}--(30:5);
	\draw[->](0,0)--(-30:5);
\node at (30:3)[above]{$C$};
\node at (-30:3)[below]{$B$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

根据上述，我们可以把日常常用的“方向”和角这两个
概念，给以如下的说明：
\begin{enumerate}
\item 自定点$A$出发的所有方向和以$A$点为端点的所有
射线之间一一地相对应．换句话说，对应于自$A$点出发的一
个方向，就有唯一的一条射线（它就是自$A$点出发沿着这个
固定方向一直走的路线）；反之任何一条以$A$点为端点的射
线也就唯一地表示了一个确定的方向．所以在几何学中，我
们以一条射线表示一个方向．
\item 一条以$A$为端点的射线，由起始的任何一小段唯
一确定（因为整个射线只是那一小段沿着那个方向的无限延
伸），所以自$A$点出发的一个方向实可以用它所对应的那
条射线开头的任何一小段所表示．
\item 设射线$AB$和$AC$分别表示由$A$点出发的两个方
向，那么$\angle BAC$的直观含义就是射线$AB$和$AC$所表示的那
两个方向的差．
\item 除了零角和平
角的特殊情形，如$A$、$B$、$C$
三点不共线，我们把射线
$AB$由原来的位置沿着
平面绕$A$点旋转到射线$AC$的位置所“扫过的区
域”叫做$\angle BAC$的\textbf{内部}，
角的内部也可以叫做\textbf{角区}（图1.28）．
\end{enumerate}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 什么是射线？射线的直观含义是什么？
	\item 什么是角？角的直观含义是什么？
	\item 线段、射线、直线有什么区别？
	\item 指出图中有几个角？并按图中字母把它们都写出来．
	\item 把图中数字表示的角，改用大写字母表示．
	\item 把图中用小写希腊字母表示的角，改用大写字母表示．
	\item 指出图中有多少个角，并按图中字母把它们都写出来．
	\item 已知（如图）$P$、$Q$两点分别在$\angle AOB$的两边上，试问是否存在不经过$\angle AOB$的内部，由$	P$到$Q$的最短通路？
	\item 如果在射线$OA$上依次取5个点，
	那么在射线$OA$上（包括射线$OA$
	在内）共有多少条射线？如果依次取10个点，100个点那么在射线$OA$
	上分别有多少条射线？如果在射线$OA$上取$n$个点，那么
在射线$OA$上又有多少条射线？
\item 如果在直线$\ell$上依次取3个点，那么直线$\ell$上有多少条射
线？如果取100个点，那么直线$\ell$上有多少条射线？如果
在$\ell$上依次取$n$个点，那么直线$\ell$上有多少条射线？
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, 1.5/2/A}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawSegments(B,C A,B A,C B,D)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[right](A,D)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第4题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
      \tkzDefPoints{0/0/O, 2/0/A, 1.75/.5/B, 1.5/1/C, 1.25/1.5/D}
\tkzDrawSegments(O,A O,B O,C O,D)
\tkzLabelPoints[right](A,D,B,C)
\tkzLabelPoints[left](O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.7](A,O,B C,O,D)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.9](A,O,C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=1.3](A,O,D)
\tkzLabelAngle[pos=1.5](A,O,D){4}
\tkzLabelAngle[pos=1](A,O,C){2}
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,O,B){1}
\tkzLabelAngle[pos=.8](C,O,D){3}
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第5题}
\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.34\textwidth}
		\centering
		\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
      \tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 1/2/A, 4/2/D,2/1/O}
\tkzDrawSegments(B,C A,B A,C C,D A,D B,D)
\tkzLabelPoints[below](B,C,O)	  
\tkzLabelPoints[above](A,D)	
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B,A,C A,O,B D,C,A)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.2](D,O,A)
\tkzLabelAngle[pos=.5](B,A,C){$\alpha$}
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,O,B){$\gamma$}
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,C,A){$\beta$}
\tkzLabelAngle[pos=.4](D,O,A){$\delta$}
		\end{tikzpicture}
		\caption*{第6题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\foreach \x/\xtext in {30/E, 10/D, 0/C, -15/B, -30/A}
{
	\draw(0,0)--(\x:3)node[right]{$\xtext$};
}
\node at (-.2,0){$O$};
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第7题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/O, 3/0/A, 1.5/0/P, 1/1/Q, 2/2/B}
\tkzLabelPoints[below](O,P,A)
\tkzLabelPoints[above](Q,B)
\tkzDrawSegments(O,B O,A)
\tkzDrawPoints(Q,P)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第8题}
    \end{minipage}
    \end{figure}




\subsection{角度和旋转}
在前面我们说明了可以用以$A$点为端点的一条射线来
表示一个由$A$点出发的方向．设射线$AB$和$AC$分别表示一个
由$A$点出发的两个方向，那么这两条射线所成的角也可以看
作是一条以$A$点为端点的射线，从$AB$的位置沿着平面旋转
到$AC$的位置而成的图形．象度量线段$\overline{PQ}$的长度就是度量表
示$P$、$Q$这两个位置之间的距离一样；度量射线$AB$和$AC$所
表示的这两个方向之间的差别也就是度量这两条射线之间所
夹的“角度”．而角度也就可以看成是旋转量了．下面采用旋
转的观点对于角度的度量再作一初步的探讨：

\subsubsection{角度的大小}
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\tkzDefPoint(2,0){B}	
\tkzDefPoint(20:2){B'}
\tkzDefPoint(45:2){C}
\tkzDefPoint(100:1.8){C'}
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDrawPoints(B,C,B',C')
\tkzLabelPoints[left](A,C',C)
\node at (0,0)[below]{$A'$};
\tkzLabelPoints[below](B',B)
\tkzDrawLines[add=0 and .5, ->](A,B A,B' A,C A,C')
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\draw (0,0) rectangle (4,3);
\tkzDefPoints{.5/1.5/A', 3/2.5/C', 3/.5/B'}
\tkzDrawPoints(A',B',C')
\tkzLabelPoints[below](A',C',B')
\tkzDrawLines[add=0 and .2 ](A',B' A',C')
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

如图1.29所示，$\angle BAC$和$\angle B'A'C'$分别是以$A$和$A'$为
顶点的两个角，用一张透明的塑胶片，先把它盖在$\angle B'A'C'$
的上面，用笔把$\angle B'A'C'$复印到塑胶片上．然后把塑
胶片移到$\angle BAC$的上面，调整其位置使得顶点$A$和顶点$A'$
相重合；再用一个针插在$A$、$A'$点之上，这样，塑胶片仍然
可以绕着针尖所插的$A'$点旋转，但是$A$、$A'$点依然确保重
合．适当旋转可以使得两个角的边$AB$和$A'B'$重合，而且
“角区”位于相重边的同侧（图1.30）．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
    \tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B', 3/0/B}
	\tkzDefPoint(40:2.5){C}
	\tkzDefPoint(60:2.5){C'}
\tkzLabelPoints[below](A,B',B)
\tkzLabelPoints[above](C,C')
\tkzDrawLines[add=0 and .4 ](A,B A,C' A,C)
\tkzDrawPoints(A,B',C',C)
\node at (0,0)[left]{$A'$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
		\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B}
		\tkzDefPoint(40:3){C}
		\tkzDefPoint(100:2.5){D}	
		\tkzDrawLines[add=0 and .3 ](A,B A,C A,D)	
		\tkzLabelPoints[below](A,C,B)
		\tkzLabelPoints[left](D)
		\tkzDrawPoints(A,B,C,D)
		\tkzMarkAngles[mark=none,->, size=.6](B,A,C C,A,D)
		\tkzMarkAngles[mark=none,->, size=.8](B,A,D)
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}


这样，两角之间有下列三种可能的位置关系：
\begin{itemize}
	\item 它们的另一边也重合，那么就说这两个角相等，记作
	$\angle B'A'C'=\angle BAC$；
	\item $A'C'$落在$\angle BAC$的内部，那么就说$\angle B'A'C'$小于$\angle BAC$, 记作$\angle B'A'C'<\angle BAC$；
	\item $A'C'$落在$\angle BAC$的外部，那么就说$\angle B'A'C'$大于$\angle BAC$, 记作$\angle B'A'C'>\angle BAC$．
\end{itemize}

\subsubsection{两角的相加}
如图1.31所示，$\angle BAC$和$\angle CAD$两个角的顶点相同，
有一条边相重合（即射线$AC$），而且两者的角区分居于公共
边的两侧，就说$\angle BAD$为$\angle BAC$和$\angle CAD$之和，即$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD$. 这时由等式的性质，又可知$\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD$，$\angle CAD=\angle BAD-\angle BAC$．


当两个角相加后是一个平角时，就说这两个角\textbf{互为补角}，
其中一个角叫做另一个角的补角．简称为\textbf{互补}（图1.32(1)）．
一个角如果和它的补角相等，这个角叫做\textbf{直角}（图1.32(2)）．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{-2/0/A, 0/0/O, 2/0/B, -1.5/1.5/C}
\tkzDrawSegments(A,B  C,O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6](C,O,A)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](B,O,C)
\tkzLabelAngle[pos=.8](C,O,A){$\alpha$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B,O,C){$\beta$}
\node at (0,-.5){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
	\tkzDefPoints{-2/0/A, 0/0/O, 2/0/B, 0/2/C}
	\tkzDrawSegments(A,B  C,O)
	\tkzMarkRightAngle[size=.3](C,O,A)
	\tkzMarkRightAngle[size=.2](B,O,C)
	\node at (0,-.5){(2)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

小于直角的角叫做\textbf{锐角}，大于直角小于平角的角叫做\textbf{钝
角}．如图1.33所示，$\angle AOB$为锐角，$\angle CPD$为钝角．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\tkzDefPoints{3/0/A, 0/0/O, 1.8/1.8/B, 0/2/C}
\tkzDrawSegments(A,O B,O)
\tkzDrawSegments[dashed](C,O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6,->](A,O,B)
\tkzLabelPoints[below](A,O,B)
\node at (1.5,-.75){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
	\tkzDefPoints{-2/0/A, 0/0/P, 2/0/C, -1.8/1.8/D, 0/2/E}
	\tkzDrawSegments[dashed](A,P P,E)
	\tkzDrawSegments(C,P P,D)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4,->](C,P,D)
	\tkzLabelPoints[below](C,P,D)
	\node at (0,-.75){(2)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

如果两个角相加的和等于直角，这两角叫做互为余角．
其中一个角叫做另一个角的余角．例如图1.34中的$\angle\alpha+\angle\beta=$直角，则$\angle\alpha$、$\angle\beta$互为余角．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\tkzDefPoints{2/0/A, 0/0/O}
\tkzDefPoint(30:1.8){B1}
\tkzDrawSegments(A,O B1,O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6](A,O,B1)
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,O,B1){$\alpha$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
	\tkzDefPoints{2/0/A, 0/0/O}
\tkzDefPoint(60:1.8){B2}
\tkzDrawSegments(A,O B2,O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6](A,O,B2)
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,O,B2){$\beta$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
	\tkzDefPoints{2/0/A, 0/0/O, 0/2/C}
\tkzDefPoint(30:1.8){B1}
\tkzDrawSegments(A,O B1,O O,C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6](A,O,B1)
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,O,B1){$\alpha$}
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.5](B1,O,C)
\tkzLabelAngle[pos=.8](B1,O,C){$\beta$}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\subsubsection{角的度量与量角器}
角的度量和线段的度量的做法基本上是相同的．也是先
取定一个角度单位，然后用这个单位，或把它适当等分所得
的分单位去和一个要量的角来比较大小．常用的单位是把一
个平角分成180等份，其中一份叫做1度；再把1度分成60
等份，其中一份叫做1分；再把1分分成60等份，其中一份叫
做1秒．常用的符号是在数字的右上角上标以“${}^{\circ}$”表示
度，“$'$”表示分，
“$''$”表示秒．例如：35度12分30秒就
写成$35^{\circ}12'30''$．

平角$=180^{\circ}$, 平角的二等分角（即平角的一半）就是直
角，直角$=90^{\circ}$. 四个直角相加得一周角，周角$=360^{\circ}$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.9]
\draw(-5,0) rectangle (5,-.5);	
\foreach \x in {.5, 2.5,3.5,5}
{
	\draw(\x ,0) arc (0:180:\x );
}
\foreach \x in {0, 10,20,...,170,180}
{
	\draw (\x:0.7)--(\x:2.6);
	\draw (\x:3.2)--(\x:3.9);
	\draw (\x:4.7)--(\x:5);
	\node[rotate=-90+\x] at (\x:2.9){\tiny \x};
	\node[rotate=90-\x] at (180-\x:4.3){\small \x};
}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


度量长度的常用工具是刻有等分刻度的直尺，相应地度
量角度的常用工具是图1.35所示的量角器．量角器是一个
具有180个等分刻度的半圆形塑胶板，当我们要去量一个给
定的角的角度时，先把顶点和这个半圆板的圆心叠合，然后
使得直径和角的一边相重合；那么角的另一边通过半圆的位
置的刻度就是所量角度的近似值．如图1.36中的$\angle BAC$,
$AB$与$0^{\circ}$线重合，$AC$恰好落在$40^{\circ}$的刻度上，所以$\angle BAC=40^{\circ}$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (-4,0)--(4,0)node[right]{$B$};
\draw (2.5,0) arc (0:180:2.5);
\draw (3,0) arc (0:180:3);
\draw(0,0) --(40:4)node[right]{$C$};
\node at (-.2,0)[above]{$O$};
\draw(0,0)--(0,2.5)node[above]{$90$};
\draw[->](3.2,0) arc(0:40:3.2);
\node at (20:3.5)[fill=white]{$40^{\circ}$};
\draw(-3,-.25)--node[below]{$A$}(3,-.25);

\end{tikzpicture}	
	\caption{}
\end{figure}

\begin{example}
	求$30^{\circ}19'21''$与$18^{\circ}40'42''$的和．
\end{example}

\begin{solution}
\[30^{\circ}19'21''+18^{\circ}40'42''=48^{\circ}59'63''=49^{\circ}3''\]
\end{solution}

\begin{example}
	把$3.62^{\circ}$化成度、分、秒．
\end{example}

\begin{solution}
$\because\quad 1^{\circ}=60',\qquad \therefore\quad 0.62^{\circ}=60'\x 0.62=37.2'$

$\because\quad 1'=60'',\qquad \therefore\quad 0.2'=60''\x 0.2=12''$

$\therefore\quad 3.62^{\circ}=3^{\circ}37'12''$
\end{solution}

\begin{example}
	把$15^{\circ}18'15''$化为度．
\end{example}


\begin{solution}
	先把$15''$化为分：
\[\frac{15''}{60''}=0.25'\]
$\therefore\quad 18'15''=18.25'$．
再把$18.25'$化为度：
\[\frac{18.25'}{60'}\approx 0.304^{\circ}\]
$\therefore\quad 15^{\circ}18'15''\approx 15.304^{\circ}$.
\end{solution}

\subsubsection{对顶角相等和两条直线互相垂直}

如图1.37所示 直线$AB$和$CD$相交于$O$点，这时，
$\angle AOC$和$\angle BOD$中$OA$和$OB$, $OC$和$OD$都互为反向延长
线．象这样，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延
长线时，我们就称这两个角为\textbf{对顶
角}．

如果两个角是对顶角，那么它
们之间有什么关系呢？由图1.37
可知，$\angle AOC$和$\angle AOD$互为补
角，即$\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ}$;
$\angle BOD$和$\angle AOD$也互为补角，即$\angle BOD+\angle AOD=180^{\circ}$,
因而$\angle AOC+\angle AOD=\angle BOD+\angle AOD$, 所以，$\angle AOC=\angle BOD$.

总结上述事实就成为下述性质：
\textbf{对顶角相等}

\begin{example}
	如果两条直线$AB$、$CD$相交于$O$点（图1.37），
$\angle AOC=40^{\circ}$, 求$\angle BOD$, $\angle AOD$, $\angle COB$的度数．
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{-2/.75/A, 2/-.75/B, -2/-.75/C, 2/.75/D,0/0/O}
\tkzLabelPoints[above](A,B,C,D,O)
\draw(A)--(B);
\draw(C)--(D);
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.5](A,O,C B,O,D)
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
	两条直线$AB$、$CD$相交于$O$点

$\therefore\quad \angle AOC$和$\angle BOD$是对顶角，
$\therefore\quad \angle AOC=\angle BOD$（对顶角相等）．

$\because\quad \angle AOC=40^{\circ}$

$\therefore\quad \angle BOD=40^{\circ}$.

又：$\angle AOC+\angle AOD=180^{\circ}$,

$\therefore\quad \angle AOD=180^{\circ}-\angle AOC=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$.

$\because\quad \angle AOD=\angle COB$（对顶角相等）

$\therefore\quad \angle COB=140^{\circ}$
\end{solution}


由于两条直线相交得出四个角，根据对顶角的概念可
知，这四个角分为两双对顶角，当然每双对顶角都是相等
的．并且不难看出，如果两条直线相交得出的四个角中，有
一个是直角，那么其余的三个角也都是直角．

当两条直线相交成直角时，这两条直线就叫做\textbf{互相垂直}．其中一条叫做另一条的垂线，交
点叫做垂足．如图1.38所示$\ell_1$和$\ell_2$
互相垂直，$O$是它们的垂足，记作
$\ell_1\bot \ell_2$于$O$点．符号“$\bot$”读作“垂直
于”．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{-2/1.5/A, 1/-1/B, -1.5/-1/C}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--B](C)  \tkzGetPoint{O}
\tkzDrawLine[add=0 and 1](C,O)
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](C,O)  \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawSegments(A,B)
\tkzLabelPoints[right](O)
\tkzLabelPoint[left](A){$\ell_1$}
\tkzLabelPoint[left](C){$\ell_2$}
\tkzMarkRightAngles[size=.2](A,O,D)
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


因为三角板中有一个角是直角，
所以可以用三角板来画垂线．

\begin{example}
	过已知点$A$, 画已知直线$\ell$的垂线．
	
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
	\item $A$点在直线$\ell$上
	\item $A$点在直线$\ell$外
\end{enumerate}
过$A$点画直线$\ell$的垂线的方法如图1.39所示．

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-39-1.png}
	\caption*{过直线$\ell$上一点$A$划$\ell$的垂线}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-39-2.png}
	\caption*{过直线$\ell$外一点$A$划$\ell$的垂线}
	\end{minipage}
	\caption{}
	\end{figure}
\end{solution}

问题1：实际画一画，过已知直线上或直线外一点，画
这条直线的垂线能画几条？

问题2：如图1.40, $P$点是直线$AB$外一点，$PC\bot AB$
于$C$点，$D$、$E$都是直线$AB$上的点，连结$\overline{PD}$、$\overline{PE}$, 量一量
$\overline{PC}$、$\overline{PD}$、$\overline{PE}$哪一条最短？

通过上面的实践，我们可以得出垂线的下列性质：

\begin{blk}{}
	\begin{enumerate}
	\item 过一点作一条直线的垂线，只能作一条．
	\item 从直线外一点和这条直线上各点所引的线段中，垂直
	线段最短．
\end{enumerate}
\end{blk}


\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-2.5/0/A, 2.5/0/B, 0/0/C, 0/2/P, -2/0/D, 1.5/0/E, -1/0/F}
\tkzDrawSegments(A,B P,D P,C P,F P,E)
\tkzLabelPoints[below](A,B,C,D,E)
\tkzLabelPoints[above](P)
\tkzMarkRightAngle[size=.2](P,C,B)
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-2/0/C, 2/0/D,0/0/B,0/2/A}
\tkzDrawSegments(C,D A,B)
\tkzLabelPoints[below](B)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzMarkRightAngle[size=.2](A,B,D)
\node at (D)[right]{$\ell$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\end{figure}

过直线外一点画这条直线的垂线，这点到垂足间的线段
的长度叫做这点到这条直线的\textbf{距离}．

例如，从直线$\ell$外一点$A$, 向直线$\ell$画垂线，设垂足为
$B$, 那么$\overline{AB}$的长度就是点$A$到直线$\ell$的距离（图1.41）.

\subsubsection{三角形的内角和}

我们观察手中的一副三角板（图1.42），它们的大小
形状都不相同；其中一个三角板的三个角和另一个三角板的
三个角之间的大小，虽然都有一个直角，但其余的两对角的
大小是不一样的，如果我们把每个三角形三个角的大小各自
加起来：
\[\begin{split}
90^{\circ}+45^{\circ}+45^{\circ}&=180^{\circ}\\
90^{\circ}+60^{\circ}+30^{\circ}&=180^{\circ}	
\end{split}\]

结果发现两个三角板的三个角的和都相同，都等于
$180^{\circ}$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 0/3/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelAngle[pos=.4](B,A,C){$90^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](C,B,A){$45^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](A,C,B){$45^{\circ}$}
\tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C)
\tkzGetPoint{G}
\draw(G) circle(.2);

\end{scope}
\begin{scope}[xshift=3cm]
\tkzDefPoints{0/3/A, 2.5*1.732/3/B, 2.5*1.732/0.5/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelAngle[pos=.4](A,B,C){$90^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B,C,A){$60^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.75](C,A,B){$30^{\circ}$}
\tkzDefTriangleCenter[centroid](A,B,C)
\tkzGetPoint{G}
\draw(G) circle(.2);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


这样，我们自然地会想到：任何一个三角形的三个角的
和等于多少度？是否也等于$180^{\circ}$？

同学们在纸上任意画两个三角形，形状、大小都不要
一样，但要认真仔细地画，边要画得直，笔道要越细越好．
然后用量角器去量它们的各角，把每一个三角形的三个角的
度数加起来，如果得到的两个结果相差很大，就再仔细地量
一量、算一算，如果得到的两个结果相差极为微小，而且都
极其接近$180^{\circ}$, 那么我们又会想到：如果在量的过程中没出
现误差，是否任何一个三角形的三个角的和都等于$180^{\circ}$?

带着这个问题，我们不妨这样来设想，因为$180^{\circ}$角即平
角，它的两边合成一条直线，如果三角形三个角的大小的和
等于$180^{\circ}$，那么这三个角拼合起来就应该得到一个平角．因
此我们可以按照这个设想，再来检验三角形三个角的和是否
为一个平角，即$180^{\circ}$角．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\includegraphics[scale=.7]{fig/1-43.png}
	\caption{}
\end{figure}

先用硬纸板仔细地剪出一个三角形（如图1.43(1)），
然后在桌上放一把直尺（图1.43(2)）；再沿着1.43(1)中
任意画的虚线把三个角（记作$\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$）剪下来；最
后按图1.43(2)所示，把$\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$拼合起来放在直
尺的边上，结果，作为$\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$之和的角的两边恰好
和直尺的边密合．

通过以上实践，我们便总结出实验的结果，这就是：

\begin{blk}{}
三角形的三个角的和是$180^{\circ}$.	
\end{blk}

\begin{example}
	已知如图1.44, $\triangle ABC$中，$\angle A=55^{\circ}$, $\angle B=48^{\circ}$. 
$BD\bot AC$于$D$点．求$\angle DBC$的度数．
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 2.5/2.6/A}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--C](B) \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawSegments(B,D A,B B,C C,A)
\tkzLabelPoints[left](B)
\tkzLabelPoints[right](D,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzMarkRightAngle[size=.2](B,D,C)
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
$\because\quad $三角形的三个角之和是$180^{\circ}$

$\therefore\quad \angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ}$

$\therefore\quad \angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle ABC
=180^{\circ}-55^{\circ}-48^{\circ}=77^{\circ}$.

又$\because\quad BD\bot AC$于$D$点，

$\therefore\quad \angle BDC=90^{\circ}$

$\therefore\quad \angle DBC=180^{\circ}-\angle C-\angle BDC
=180^{\circ}-77^{\circ}-90^{\circ}=13^{\circ}$.
\end{solution}

\subsection*{练习}
\begin{enumerate}
	\item 看图在各题的（\qquad）中填入适当的角：
\begin{enumerate}
	\item $\angle ABD=\angle ABC+(\qquad )$
	\item $\angle CBE-\angle DBE=(\qquad)$
	\item $\angle ABE-\angle CBD=\angle ABC+(\qquad)$
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/D, 2.5/1/E, 2.5/-.8/C, 2.5/-1.5/A}
\tkzDrawSegments(B,E B,D B,C B,A)
\tkzLabelPoints[right](A,C,D,E)
\tkzLabelPoints[left](B)
\end{tikzpicture}
	\caption*{第1题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/O, 3/0/A, -1.4/2.2/B}
\tkzDrawSegments(O,A O,B)
\tkzLabelPoints[below](O,A)
\tkzLabelPoints[above](B)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](A,O,B)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第4题}
	\end{minipage}
	\end{figure}
\item 什么是平角、直角、锐角、钝角？指出下列图中的锐角、直角
	和钝角．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
	\tkzDefPoints{0/0/O, -.5/2/A, .5/2/B}
	\tkzDrawSegments(A,O B,O)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.7](B,O,A)
	\tkzLabelAngle[pos=1.2](B,O,A){1}
\end{scope}	
\begin{scope}[xshift=3cm]
	\tkzDefPoints{0/2/O, 0/0/A, -2/2/B}
	\tkzDrawSegments(A,O B,O)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](B,O,A)
	\tkzLabelAngle[pos=.6](B,O,A){2}
\end{scope}	
\begin{scope}[xshift=4cm]
	\tkzDefPoints{0/1/O, 2/1.75/A, 2/.25/B}
	\tkzDrawSegments(A,O B,O)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](B,O,A)
	\tkzLabelAngle[pos=.6](B,O,A){3}
\end{scope}	
\begin{scope}[xshift=8.5cm]
	\tkzDefPoints{0/1.5/O, 1.75/.5/A, -1.75/.5/B}
	\tkzDrawSegments(A,O B,O)
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B,O,A)
	\tkzLabelAngle[pos=.5](B,O,A){4}
\end{scope}	
\end{tikzpicture}
	\caption*{第2题}
\end{figure}

\item 分别指出，时针和分针在下列哪个时间组成锐角、钝角、
直角和平角．
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
	\item 4点
	\item 6点
	\item 9点
	\item 1点30分
	\item 2点5分
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 什么叫两个角互补？如果
已知$\angle AOB$, 试画出
$\angle AOB$的补角．
\item 什么叫两个角互为余角？
如果$\angle \alpha+\angle \beta=$直角，那么说“$\angle \alpha$是余角”，“$\angle\beta$是余角”，对
吗？怎样才是正确的说法？
\item 用量角器分别量出下列各角的度数．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/O}
\tkzDefPoint(-15:3){A}
\tkzDefPoint(10:3){B}
\tkzMarkAngles[size=.5, mark=none](A,O,B)
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,O,B){1}
\tkzDrawSegments(A,O B,O)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
	\tkzDefPoints{0/0/O}
\tkzDefPoint(15:2.5){A}
\tkzDefPoint(160:2.5){B}
\tkzMarkAngles[size=.3, mark=none](A,O,B)
\tkzDrawSegments(A,O B,O)
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,O,B){2}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm, yshift=-1.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/O}
\tkzDefPoint(-140:2.5){A}
\tkzDefPoint(-50:2.5){B}
\tkzMarkAngles[size=.3, mark=none](A,O,B)
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,O,B){3}
\tkzDrawSegments(A,O B,O)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm, yshift=-3.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/O}
\tkzDefPoint(85:2.5){A}
\tkzDefPoint(120:2.5){B}
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](A,O,B)
\tkzLabelAngle[pos=.6](A,O,B){4}
\tkzDrawSegments(A,O B,O)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第6题}
\end{figure}

\item 用量角器分别画出$45^{\circ}$, $72^{\circ}$, $90^{\circ}$, $134^{\circ}$的角．
\item 什么叫对顶角？下列各图中有没有对顶角？如果有，把
它们写出来．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/1.5/O, -1.5/1.5+1/A, -1.5/1.5-1/B, 1.3/1.5-.5/A', 1.3/1.5+.5/B'}
\tkzDrawSegments(A,O B,O A',O B',O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](A,O,B A',O,B')
\tkzLabelAngle[pos=.6](A,O,B){1}
\tkzLabelAngle[pos=.6](A',O,B'){2}
\node at (0,0){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
\node at (0,0){(2)};
\tkzDefPoints{-1.5/.5/A, 1.5/.5/B, 0/.5/O, -1.2/1.5/A', 1.4/1.5/B'}
\tkzDrawSegments(A,B O,A' O,B')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.5](A',O,A B,O,B')
\tkzLabelAngle[pos=.7](A',O,A){1}
\tkzLabelAngle[pos=.7](B,O,B'){2}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
\node at (0,0){(3)};
\tkzDefPoints{-1.5/.4/A, -1.5/1.8/C, 0/1/O, 1.5/.2/D, 1.5/1.6/B, 2/1/E}
\tkzDrawSegments(A,B C,D O,E)
\tkzLabelPoints[left](A,C)
\tkzLabelPoints[right](B,D)
\tkzLabelPoints[below](O)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.45](C,O,A)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.65](D,O,E)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.7](E,O,B)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B,O,C)
\tkzLabelAngle[pos=.6](C,O,A){1}
\tkzLabelAngle[pos=.9](D,O,E){2}
\tkzLabelAngle[pos=.9](E,O,B){3}
\tkzLabelAngle[pos=.5](B,O,C){4}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第8题}
\end{figure}

\item 已知（如图）直线$AB$和$CD$相交于$O$点，$\angle AOC=50^{\circ}20'$, 
求$\angle BOD$、$\angle COB$和$\angle AOD$.

\item 计算下列各题：
\begin{enumerate}
	\item $3^{\circ}25'18''+24^{\circ}39'24''$
	\item $64^{\circ}27'15''-28^{\circ}37'35''$
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-2/.2/C, 2/-.2/D, -1.5/-1.5/A, 1.5/1.5/B}
\tkzInterLL(A,B)(C,D)\tkzGetPoint{O}
\tkzLabelPoints[left](C,A)
\tkzLabelPoints[right](B,D)
\tkzLabelPoints[below](O)
\tkzDrawSegments(A,B C,D)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第9题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 2/0/Q}
\tkzDefPoints{0/1/C, 4/3/D, 1/1.5/P}
\tkzDrawSegments(A,B C,D)
\tkzLabelPoint[right](B){$m$}
\tkzLabelPoint[right](D){$\ell$}
\tkzLabelPoints[below](Q)
\tkzLabelPoints[above](P)
\tkzDrawPoints(P,Q)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第16题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 化下列单名数为复名数（度、分、秒）．
\[1.25^{\circ};\quad 0.8^{\circ};\quad 3.21^{\circ};\quad (1\tfrac{1}{2})^{\circ};\quad (2\tfrac{1}{3})^{\circ}\]
\item 化下列复名数为单名数（度）．
\[5^{\circ}30';\quad 12^{\circ}36'12'';\quad 38^{\circ}4'5''\]
\item 求$23.26^{\circ}$、$15^{\circ}20'15''$的角的补角的大小．
\item 求$48^{\circ}15'$、$72.9^{\circ}$的角的余角的大小．
\item 什么是两点间的距离？什么
是直线外一点到这条直线的距
离？



\item 已知：（如图）$P$在直线$\ell$上，$Q$在直线$m$上，试量出：
\begin{enumerate}
\item $P$、$Q$两点间的距离；
\item $P$到直线$m$的距离；
\item $Q$点到直线$\ell$的距离．
\end{enumerate}
\item 已知如图，用三角板：
\begin{enumerate}
\item 过$A$点画出直线$BC$的垂线；
\item 过$B$点画出直线$AC$的垂线；
\item 过$C$点画出直线$AB$的垂线．
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{.5/0/B, 2/0/C, 3/2/A}
\tkzDrawLines[add=.5 and .9](B,C)
\tkzDrawLines[add=0 and .5](A,C)
\tkzDrawSegments(A,B)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第17题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 3.8/0/C, 2.5/2/D}
\tkzDrawPolygon(A,C,D)
\tkzDrawSegments(B,D)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](C,A,D D,B,A A,D,B D,C,A)
\tkzLabelAngle[pos=.5](C,A,D){1}
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,B,A){2}
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,D,B){3}
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,C,A){5}
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.5](B,D,C)
\tkzLabelAngle[pos=.7](B,D,C){4}


    \end{tikzpicture}
    \caption*{第19题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 已知$\triangle ABC$中，$\angle A=70^{\circ}$, $\angle B=60^{\circ}$, 求$\angle C$.
\item 如图，$\angle 1=35^{\circ}$, $\angle 2=78^{\circ}$, 求$\angle 3$的大小，自$\angle 3$的顶
点画一条射线和$\angle 1$的一条边相交，并且使$\angle 4=16^{\circ}$.

问：$\angle 5$比$\angle 2$少多少度？

\item 怎样从“三角形三个内角和等于$180^{\circ}$”推算出四边形的
四个内角的和，五边形五个内角的和，六边形六个内角的
和各等于多少度？
\item 如果分别延长$\triangle ABC$的三边$AB$、$BC$、$CA$得到$\angle 1$、
$\angle 2$和$\angle 3$, 那么$\angle 1+\angle 2+\angle 3=?$
\item 如果顺次延长四边形ABCD的各边，得到$\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$和
$\angle 4$, 那么，请你根据21题的计算结果猜想一下这四个角之
和可能是多少度？然后再计算一下$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=?$
来验证一下你的猜想是否正确．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, 1.5/1.5/A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](C,A) \tkzGetPoint{A'}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](B,C) \tkzGetPoint{C'}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](A,B) \tkzGetPoint{B'}
\tkzDrawSegments[dashed](A,A' B,B' C,C')
\tkzLabelPoints[left](B)
\tkzLabelPoints[right](A)
\tkzLabelPoints[below](C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B',B,C C',C,A A',A,B)
\tkzLabelAngle[pos=.5](B',B,C){1}
\tkzLabelAngle[pos=.5](C',C,A){2}
\tkzLabelAngle[pos=.5](A',A,B){3}
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第21题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 1.8/0/C, 0.2/1.8/A, 2.5/1.8/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](D,C) \tkzGetPoint{C'}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](B,A) \tkzGetPoint{A'}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](C,B) \tkzGetPoint{B'}\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](A,D) \tkzGetPoint{D'}
\tkzDrawSegments[dashed](A,A' B,B' C,C' D,D')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](C,D,D' B,C,C' A,B,B' D,A,A')
\tkzLabelAngle[pos=.5](C,D,D'){1}
\tkzLabelAngle[pos=.5](B,C,C'){2}
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,B,B'){3}
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,A,A'){4}

    \end{tikzpicture}
    \caption*{第22题}
    \end{minipage}
    \end{figure}


\end{enumerate}


\subsection{角度和平行}

在前面的讨论中，我们已经明确了沿着一个固定方向一
直走，所经过的路线就是一条射线．如图1.45所示，射线
$AB$和射线$A'B'$分别表示起点为$A$和$A'$的两个方向．连结
$A$、$A'$再延长得射线$AA'$, 于是射线$AC$和射线$A'C'$是相
同的两个方向；$\angle CAB$表示射线$AB$和$AC$这两个方向的差
别，$\angle C'A'B'$表示射线$A'B'$和$A'C'$这两个方向的差别．
如果$\angle CAB=\angle C'A'B'$, 显然射线$AB$和$A'B'$的方向就是
相同的．

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, .5/-1.5/A', 2.5/-1.5/B'}
\tkzDefPointWith[linear, K=2](A,A')\tkzGetPoint{D}
\tkzLabelPoints[left](A,A')
\tkzLabelPoints[right](B,B')
\tkzDrawSegments[->](A,B A,A' A',D A',B')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4,->](A',A,B D,A',B')
\tkzLabelSegment[left](A,A'){$C$}
\tkzLabelSegment[left](D,A'){$C'$}

	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
	  \tkzDefPoints{0/0/A, 2.5/0/B, .5/-1/A', 3/-1.8/B'}
\tkzDefPointWith[linear, K=3](A,A')\tkzGetPoint{D}
\tkzLabelPoints[left](A,A')
\tkzLabelPoints[right](B,B')
\tkzDrawSegments[->](A,B A,A' A',D A',B')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](A',A,B D,A',B')
\tkzLabelSegment[left](A,A'){$C$}
\tkzLabelSegment[left](D,A'){$C'$}


	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\end{figure}


我们把$\angle CAB$和$\angle C'A'B'$这样位置的角叫做\textbf{同位角}．如图1.46所示．

连结同一平面内的射线$AB$和$A'B'$的端点$A$、$A'$后，如
果得到的同位角相等（图1.45）即$\angle CAB=\angle C'A'B'$, 
我们就说射线$AB$和$A'B'$互相平行．同样地，如果同一平面
内的两条直线$\ell$和$\ell'$被另一条直线$AA'$截出的同位角相等
（图1.47），我们就说直线$\ell$和$\ell'$\textbf{互相平行}．记作$\ell\parallel \ell'$．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/0/a, 3/0/b, -.5/2/a', 3.5/2/b'}
\tkzDefPoints{2/3/B, .5/-.5/B'}
\tkzInterLL(a,b)(B,B') \tkzGetPoint{A'}
\tkzInterLL(a',b')(B,B') \tkzGetPoint{A}
\tkzLabelPoints[above left](A,A')
\tkzMarkAngles[size=.35, mark=none](b,A',A b',A,B)
\tkzLabelPoint[left](a){$\ell'$}
\tkzLabelPoint[left](a'){$\ell$}
\tkzDrawSegments(a,b a',b' B,B')
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/0/a, 3/0/b, -1/2/a', 3/2/b'}
\tkzDefPoints{1/2/A', -.5/0/A, 2.5/0/B}
\tkzLabelPoint[right](b){$\ell$}
\tkzLabelPoint[right](b'){$\ell'$}
\tkzDrawSegments(a,b a',b')
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](A,A') \tkzGetPoint{C}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](B,A') \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawLines[dashed, add=.3 and .5](A,A' B,A')
\tkzMarkAngles[size=.35, mark=none](B,A,A' A',B,A b',A',C D,A',a')
\tkzLabelAngle[pos=.55](B,A,A'){1}
\tkzLabelAngle[pos=.55](A',B,A){3}
\tkzLabelAngle[pos=.55](b',A',C){2}
\tkzLabelAngle[pos=.55](D,A',a'){4}
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[below left](A')



    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}




\begin{example}
	在纸上画一条直线记为$\ell$, 在$\ell$外任意取一点$A'$
（图1.48），怎样在纸上过$A'$画一条直线和$\ell$平行？
\end{example}

\begin{solution}
根据同位角相等，两条直线就平行，这一平行线的
意义，我们在直线$\ell$上先取一点$A$, 再连结出直线$AA'$, 然后
量出$\angle 1$的大小，并用量角器划出$\angle 2=\angle 1$, 这时$\angle 2$的另一条
边所在直线$\ell'$就是$\ell$的平行线．如果在$\ell$上另取一点$B$, 仍用画
同位角$\angle 4=\angle 3$的方法画出过点$A'$和直线$\ell$平行的直线，
结果这条直线仍然是$\ell'$．

同样地，如果在直线$\ell$上另取点$C$、$D$、……（图中没有
画出）而后分别按上面的方法画出过点$A'$和$\ell$的平行线，结
果这条直线还是$\ell'$．

通过画图，我们得到：
\begin{blk}{}
	过已知直线$\ell$外的一点$P$只有一条直线和$\ell'$平行．
\end{blk}
\end{solution}

\begin{example}
	教室里的长方形黑板的对边是不是平行线？为什
么（图1.49）？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
	\tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 4/2.5/C, 0/2.5/D, 5.5/0/E, 0/4/F}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawSegments[dashed](B,E D,F)
\tkzMarkRightAngles[size=.2](A,B,C B,C,D C,D,A D,A,B)
\tkzMarkRightAngles[size=.3](E,B,C C,D,F)
\tkzLabelSegment[left](A,D){$b$}
\tkzLabelSegment[below](A,B){$a$}
\tkzLabelSegment[right](B,C){$b'$}
\tkzLabelSegment[above](C,D){$a'$}
\tkzLabelAngle[pos=.5](A,D,C){1}
\tkzLabelAngle[pos=.5](B,A,D){2}
\tkzLabelAngle[pos=.5](C,B,A){3}
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,C,B){4}
\tkzLabelAngle[pos=.7](C,D,F){$1'$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](E,B,C){$3'$}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
由小学数学课中我们
已知长方形的各角都是直角，
如图，长方形的$\angle 1$、$\angle 2$、
$\angle 3$、$\angle 4$都是直角．

因为$\angle 1'$是$\angle 1$的补角，所
以$\angle 1'$也是直角，于是同位角
$\angle 1'=\angle 2$, 因此长方形的对边$a\parallel a'$. 

同样，同位角$\angle 3'=\angle 2$, 因此另一对边$b\parallel b'$. 
\end{solution}

我们学习了平行线的意义之后，进一步考虑平面上两条
直线$\ell$, $m$有几种可能的位置关系呢？参看图1.50, 同学们
自己归纳出结论．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 3.5/1.5/C}
\tkzDefPointsBy[translation = from B to C](A){D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\draw(.5,.5)--(2.5,.5)node[right]{$m$};
\draw(.5,1)--(2.5,1)node[right]{$\ell$};

\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 3.5/1.5/C}
\tkzDefPointsBy[translation = from B to C](A){D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDefPoints{.8/1.2/A, 3/.5/B, .8/.4/C, 3/1.2/D}
\tkzInterLL(A,B)(C,D)\tkzGetPoint{P}
\tkzLabelPoints[below](P)
\tkzLabelPoint[left](A){$\ell$}
\tkzLabelPoint[left](C){$m$}
\tkzDrawSegments(A,B C,D)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 3.5/1.5/C}
\tkzDefPointsBy[translation = from B to C](A){D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDefPoints{1/.8/P', 1.5/.8/P, 2.5/.8/Q}
\tkzDrawLine(P',Q)
\tkzDrawPoints(P,Q)
\tkzLabelPoints[above](P,Q)
\tkzLabelPoint[above left](P'){$\ell$}
\tkzLabelPoint[below left](P'){$m$}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 如图，在同一平面内，直线$m$和$\ell$垂直于$A$点，直线$\ell$和$m$
	垂线于$A'$点，直线$\ell$和$\ell'$平行吗？为什么？
	\item 如图，先把三角板的一边$a$和直线$\ell$密合；再用直尺和三角
	板的另一边$b$密合；固定直尺，推动三角板使$b$总和直尺
	密合，当$a$过$P$点时，沿$a$画直线$\ell'$, 那么$\ell'\parallel \ell$. 为什么？
	\item 已知直线$AB$外一点$C$, 过$C$点划一条直线和$AB$平行．
	\item 两条平行直线是否可以确定一个平面？
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/a, 3/0/b, 0/2/a', 3/2/b', 1.5/3.5/m, 1.5/-1.5/n}
\tkzInterLL(m,n)(a,b)  \tkzGetPoint{A}
\tkzInterLL(m,n)(a',b')  \tkzGetPoint{A'}
\tkzDrawSegments(a,b a',b' m,n)
\tkzLabelPoints[below left](A,A')
\tkzMarkRightAngles[size=.2](m,A',b' m,A,b)
\tkzLabelPoint[left](a){$\ell$}
\tkzLabelPoint[left](a'){$\ell'$}
\tkzLabelPoints[above](m)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第1题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/A, 3.5/0/D, 2.5/0/B, .9/1.2/C, 1/.5/O}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.5](A,C)\tkzGetPoint{A'}      
\tkzDefPointsBy[translation = from A to A'](B,C,D,O){B',C',D',O'}
\draw(O) circle(.15);
\draw(O') circle(.15);
\tkzDrawSegments(A,D B,C A,C)
\tkzDrawSegments(A',D' B',C' A',C')
\tkzLabelPoint[right](D){$\ell$}
\tkzLabelPoint[right](D'){$\ell'$}
\tkzDrawLines[very thick](A,C')
\tkzDefPoints{-.1/.1/a}
\tkzDefPointsBy[translation = from A to a](C'){c}
\tkzDrawLines[very thick](a,c)
\tkzLabelSegment[below](A,B){$a$};
\tkzLabelSegment[below](A',B'){$a$};
\tkzLabelSegment[right](A,C){$b$};
\tkzLabelSegment[right](A',C'){$b$};
\tkzDefPoints{2/1.8/P}
\tkzDrawPoints(P)
\tkzLabelPoints[below](P)

    \end{tikzpicture}
    \caption*{第2题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\section*{习题1.2}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.2}
\begin{enumerate}
	\item 用度、分、秒表示下列各角：
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
	\item $\frac{1}{2}$直角
	\item  $\frac{1}{4}$直角
	\item $1\frac{1}{4}$直角
	\item $48.45^{\circ}$
\item 	$58.19^{\circ}$
\item $384600''$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 计算下列式子：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $38^{\circ}24'+54^{\circ}43'$
\item $180^{\circ}-99^{\circ}48'$
\item $52^{\circ}13'-27^{\circ}58'$
\item $24^{\circ}3'\x 15$
\item $200^{\circ}45'\div 5$
\item $144^{\circ}\div 12^{\circ}$
\item $18^{\circ}33'\div 4$
\item $315^{\circ}5'\div 14^{\circ}8'$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 检验图中两条直线$OA$, $O'A'$是否平行．

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw(0,0)node[left]{$O'$}--(3,0)node[right]{$A'$};
\draw(0,1.5)node[left]{$O$}--(3,1.5)node[right]{$A$};
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第3题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/1.5/B, -.1/1.8/C}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--B](C) \tkzGetPoint{D}
\tkzDefPointWith[linear, K=2](C,D) \tkzGetPoint{E}
\tkzDrawSegments(A,B C,E)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第4题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 检验图中的两条直线是否垂直．
\item 回答下列问题：
\begin{enumerate}
\item 钝角与锐角的差一定比直角大吗？举例说明．
\item 两个锐角的和会不会大于直角？会不会大于或等于
平角？
\item 两个钝角的和会不会大于或等于一个周角．
\end{enumerate}

\item 下面的说法対不对？为什么？
\begin{enumerate}
\item 锐角的余角是锐角．
\item 锐角的补角是锐角．
\item 直角的补角是直角．
\item 两个角如果互余，这两个角都是锐角．
\item 一个锐角和一个钝角一定互为补角．
\item 两个角如果互补，一定是一个角为锐角一个角为钝
角．
\item 一个锐角加上一个锐角，还是一个锐角．
\item 两个锐角不能互为补角．
\item 一个钝角减去一个比它小的钝角，差是锐角．
\end{enumerate}

\item 一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数．
\item 一个角的余角是它的3倍，求这个角的度数．
\item 一个角是它的补角的4, 求这个角是多少度？
\item 两个角的度数比为7:2, 它们的差是$50^{\circ}$, 求这两个角
的度数．
\item 两条直线相交有一个角是$20^{\circ}$, 求其余各角．
\item 已知$AB$是直线，$O$点在$AB$上，直线$CO\bot DO$, 那么
$\angle 1$与$\angle 2$互余吗？为什么？
\item 如图，试：
\begin{enumerate}
\item 过$B$点画直线$AD$的垂线？
\item 过$D$点画直线$BC$的垂线？
\item 过$O$点画直线$BD$的垂线？
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-2.5/0/B, 2.5/0/A, 0/0/O}
\tkzDefPoint(40:2){C}
\tkzDefPoint(130:2){D}
\tkzLabelPoints[below](A,B,O)
\tkzLabelPoints[above](C,D)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.35](A,O,C D,O,B)
\tkzLabelAngle[pos=.55](A,O,C){1}
\tkzLabelAngle[pos=.55](D,O,B){2}
\tkzDrawSegments(A,B C,O D,O)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第12题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{2.5/0/B, 0/0/A, 4/2/C, 2.5/1/O}
\tkzDefPointsBy[translation = from B to C](A){D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawSegments(B,D)
\tkzLabelPoints[right](O,B,C)
\tkzLabelPoints[left](A,D)
\tkzDrawPoints(O)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第13题}
    \end{minipage}
    \end{figure}


\item 下面的说法对不对？说明理由．
\begin{enumerate}
\item 可能有三个角都是锐角的三角形．
\item 可能有二个角都是直角的三角形．
\item 不可能有一个角是直角，另一个角是钝角的三角形．
\item 可能有一个角是钝角，其余两个角都是锐角的三角
形．
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{全等和叠合}

\subsection{全等形}
两个形状和大小完全相同的图形，叫做全等形．如图
1.51(1)中，三角形II和I面积的大小相等但形状不同；
III和I的形状相同但大小又不等；IV和I的形状和大小都不
一样，只有V和I的形状和大小完全相同．三角形I和V
是全等的．又如图1.51(2)中，三棱锥$\rm I'$和$\rm II'$形状相同
但大小不等；
$\rm III'$和$\rm II'$体积的大小相等但形状又不同．只有
$\rm IV'$和$\rm II'$的形状和大小完全相同．三棱锥$\rm II'$和$\rm IV'$是全等
的．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.5/1/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\node at (1.3,.5){I};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2.3cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.3/1/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\node at (1.3,.5){II};
\end{scope}
\begin{scope}[scale=1.3, xshift=3.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.5/1/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\node at (1.2,.5){III};
\node at (1,-.5){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 1.5/0/B, 1/1.5/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\node at (.8,.7){IV};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=9.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.5/1/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\node at (1.3,.5){V};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.3/1.2/C, 1.6/-.5/D}
	\tkzDrawPolygon(A,D,B,C)
	\tkzDrawSegments[dashed](A,B)
	\tkzDrawSegments(C,D)
\node at (1.1,.5){$\rm I'$};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm,xshift=3cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.1/1.1/C, 1.3/-.6/D}
	\tkzDrawPolygon(A,D,B,C)
	\tkzDrawSegments[dashed](A,B)
	\tkzDrawSegments(C,D)
	\node at (1.1,.5){$\rm II'$};
	\node at (3,-1){(2)};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm,xshift=6cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 0.7/1.1/C, 1.3/-.6/D}
	\tkzDrawPolygon(A,D,B,C)
	\tkzDrawSegments[dashed](A,B)
	\tkzDrawSegments(C,D)
	\node at (.9,.5){$\rm III'$};
\end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm,xshift=9cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.1/1.1/C, 1.3/-.6/D}
	\tkzDrawPolygon(A,D,B,C)
	\tkzDrawSegments[dashed](A,B)
	\tkzDrawSegments(C,D)
	\node at (1.1,.5){$\rm IV'$};
\end{scope}

\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

我们用符号，“$\cong$”表示全等．在图中就有：
\begin{center}
	三角形I$\cong$三角形V;\qquad 三棱锥II$'\cong$三棱锥IV$'$
\end{center}

对于平面上两个图形（简称平面图形），要看一看他们
是否全等，实践检验的方法，常常是看它能否叠合．能叠合
的就全等．

显然，两条线段$\overline{AB}$和$\overline{A'B'}$能叠合的唯一条件就是它
们等长：$\overline{AB}=\overline{A'B'}$.

在角的度量的讨论中，我们实际就是用叠合来说明两个
角的大小相等的意义的，这也就是说两个角$\angle A$和$\angle A'$能
叠合的唯一条件就是它们的大小相等：$\angle A=\angle A'$.

如果$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$全等（图1.52），这就是说它
们能叠合．因而他们的边和角便分别相等（也说全等形的对
应边相等、对应角相等）：
\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.8]
	\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 2/1.8/A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
\tkzDefPoints{0/0/B', 3/0/C', 2/1.8/A'}
\tkzDrawPolygon(A',B',C')
\tkzLabelPoints[below](B',C')
\tkzLabelPoints[above](A')
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
\tkzDefPoints{0/0/B'', 3/0/C'', 1/1.8/A''}
\tkzDrawPolygon(A'',B'',C'')
\tkzLabelPoints[below](B'',C'')
\tkzLabelPoints[above](A'')
\end{scope}	
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\[\begin{split}
\overline{AB}=\overline{A''C''},&\quad \overline{BC}=\overline{B''C''},\quad \overline{CA}=\overline{B''A''}\\
\angle A=\angle A'',&\quad \angle B=\angle C'',\quad \angle C=\angle B''
\end{split}\]

\subsection{三角形全等的条件}
由上面对两个全等三角形的分析，知道了两个三角形如
果全等，它们的对应边、对应角都分别相等．反过来说，如
果两个三角形的各边对应相等，对应角也分别相等，那么这
两个三角形便能叠合，它们就是全等三角形．

下面我们来研究两个三角形的全等条件．

\begin{enumerate}
	\item 如图1.53中，$\angle A=\angle A'$, $\overline{AB}=\overline{A'B'}$, 
$\overline{AC}=\overline{A'C'}$. 那么可以使$\overline{A'B'}$叠合在$\overline{AB}$上，从而$\angle A'$可以
和$\angle A$叠合，同时$\overline{A'C'}$也就叠合在$\overline{AC}$上了．这样一来，由
于点$B'$落在点$B$上，点$C'$落在点$C$上，那么根据“两点只确定
一条直线”这个基本性质，直线$B'C'$便叠合在直线$BC$上，
自然$\overline{B'C'}$和$\overline{BC}$也就叠合在一起，于是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$
便完全叠合，它们也就全等了．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
	\tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 2/2/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[above](C)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm, rotate=-116]
	\tkzDefPoints{-3/0/A', 0/0/B', -1/2/C'}
\tkzDrawPolygon(A',B',C')
\tkzLabelPoints[below](C',B')
\tkzLabelPoints[above](A')
\end{scope}	
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

由此可见，检验两个三角形是否全等时，不必分别的检
验它们的各边是否对应相等、各对应角是否相等，而是检验出
两条边和所夹的角分别相等就可判定这两个三角形全等了．
这种判定两个三角形全等的条件，记作（SAS）条件．

\item 与此相仿，如上图中$\angle A=\angle A'$, $\overline{AB}=\overline{A'B'}$, 
$\angle B=\angle B'$, 也可以先使$\overline{A'B'}$叠合在$\overline{AB}$上，再让$\triangle A'B'C'$
落在$\triangle ABC$所在平面上，因为$\angle A'=\angle A$, $\angle B'=\angle B$, 所
以$\angle A'$和$\angle A$, $\angle B'$和$\angle B$分别叠合；这样，直线$A'B'$和
$AC$, $B'C'$和$BC$也就分别叠合了，由于“两条直线相交只有
一个交点”．因此，点$A'$必落在点$A$上，于是$\triangle A'B'C'$和
$\triangle ABC$就完全叠合了，因此它们全等．这就是说两角和夹边
对应相等的两个三角形全等．这种判定两个三角形全等的条
件，记作（ASA）条件．

\item 再有，如果一个三角形的三条边的长度确定了，通
过观察和实验我们可以发现这个三角形的形状和大小就不会
改变了（图1.54(1)）．而一个四边形如果四条边的长度
确定了，它的形状和大小却是可以改变的（图1.54(2)）．
我们把三角形的这种特性叫做三角形的\textbf{稳定性}．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-54.png}
	\caption{}
\end{figure}

这样，一个三角形$ABC$的三边和另一个三角形$A'B'C'$
的三边如果对应地相等，即$\overline{AB}=\overline{A'B'}$, $\overline{BC}=\overline{B'C'}$, $\overline{AC}=\overline{A'C'}$, 那么由三角形的稳定性，这两个三角形的对应角也
必相等．即$\angle A=\angle A'$, $\angle B=\angle B'$, $\angle C=\angle C'$. 因此，
这两个三角形就全等．这种判定三角形全等的条件，记作
（SSS）条件．
\end{enumerate}

\begin{example}
    在图1.55中，如果已知
$\overline{AB}=\overline{DC}$, $\overline{AC}=\overline{DB}$, $\triangle ABC$和
$\triangle DCB$全等吗？为什么？
\end{example}

\begin{solution}
	在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，
由于：
\begin{align*}
	\overline{AB}&=\overline{DC}  \tag{已知}\\
	\overline{AC}&=\overline{DB} \tag{已知}\\
	\overline{BC}&=\overline{BC}  \tag{公共边}	
\end{align*}
$\therefore\quad \triangle ABC\cong \triangle DCB$ (SSS).
\end{solution}


\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-2/0/B, 2/0/C, -1.5/2/A, 1.5/2/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(C,D B,D)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A,D)
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1, rotate=10]
\tkzDefPoints{-2/0/B, 2/0/C, 0/3/A}
\tkzDefPointWith[linear, K=.4](A,B)\tkzGetPoint{D}
\tkzDefPointWith[linear, K=.4](A,C)\tkzGetPoint{E}
\tkzDrawPolygon(A,B,E)
\tkzDrawPolygon(A,C,D)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[left](D)
\tkzLabelPoints[right](E)

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\begin{example}
    在图1.56中已知$\overline{AD}=\overline{AE}$, $\overline{AB}=\overline{AC}$, 那么
$\triangle ABE$和$\triangle ACD$全等吗？为什么？
\end{example}

\begin{solution}
	在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
	由于：
\begin{align*}
	\overline{AD}&=\overline{AE}  \tag{已知}\\
	\overline{AB}&=\overline{AC} \tag{已知}\\
	\angle A&=\angle A  \tag{公共角}	
\end{align*}
$\therefore\quad \triangle ABE\cong \triangle ACD$ (SAS).
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 根据图填写下列空白：
\begin{enumerate}
	\item $\angle A$是\underline{\qquad }与\underline{\qquad }的夹角，也是\underline{\qquad }的对角．
	\item $\angle B$是\underline{\qquad }与\underline{\qquad }的夹角，也是\underline{\qquad }的对角．
	\item $\angle C$是\underline{\qquad }与\underline{\qquad }的夹角，也是\underline{\qquad }的对角．
\end{enumerate}

	\item 什么叫全等形？什么是全等三角形？两个全等三角形的对
	应边和对应角有什么关系？
	\item 在图中，如果已知$\overline{AB}=\overline{AC}$, $\overline{BD}=\overline{DC}$, 那么$\triangle ABD$与
	$\triangle ACD$全等吗？为什么？

\item 写出上题中$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的对应边和对应角．
\item 用量角器和刻度尺，作出适合以下条件的三角形：
\begin{enumerate}
	\item $\overline{AB}=55{\rm mm},\quad \overline{AC}=34{\rm mm},\quad \angle A=80^{\circ}$
\item $\overline{BC}=45{\rm mm},\quad \angle B=50^{\circ},\quad \angle C=100^{\circ}$
\item $\overline{BC}=27{\rm mm},\quad \overline{BA}=39{\rm mm},\quad \overline{AC}=30{\rm mm}$
\item $\overline{AC}=50{\rm mm},\quad \angle A=95^{\circ},\quad \angle B=40^{\circ}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}
	\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 2/2.5/A}
	\tkzDrawPolygon(A,B,C)
	\tkzLabelPoints[below](B,C)
	\tkzLabelPoints[above](A)
\end{tikzpicture}
    \caption*{第1题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
	\begin{tikzpicture}
		\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 1.5/2.3/A, 1.5/0/D}
		\tkzDrawPolygon(A,B,C)
		\tkzLabelPoints[below](B,C,D)
		\tkzLabelPoints[above](A)
		\tkzMarkRightAngles[size=.2](A,D,C)
		\tkzDrawSegments(A,D)
	\end{tikzpicture}
    \caption*{第3题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\section*{习题1.3}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.3}
\begin{enumerate}
	\item 写出下列各三角形中的全等三角形．
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[rotate=50]
\tkzDefPoints{0/0/B, 2.5/0/A}
\tkzDefPoint(82.1:4){C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[above](A,C)
\tkzLabelPoints[below](B)
\tkzLabelSegment[above](A,C){10cm}
\tkzLabelSegment[left](B,C){8cm}
\tkzLabelSegment[right](A,B){5cm}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm, yshift=3cm, rotate=-130]
	\tkzDefPoints{0/0/E, 2.5/0/D}
\tkzDefPoint(82.1:4){F}
\tkzDrawPolygon(D,E,F)
\tkzLabelPoints[above](E)
\tkzLabelPoints[below](D,F)
\tkzLabelSegment[below](D,F){10cm}
\tkzLabelSegment[right](E,F){8cm}
\tkzLabelSegment[left](D,E){5cm}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/H, 2.5/0/I}
\tkzDefPoint(60:4){G}
\tkzDrawPolygon(H,I,G)
\tkzLabelPoints[below](H,I)
\tkzLabelPoints[above](G)
\tkzLabelSegment[below](H,I){5cm}
\tkzLabelSegment[left](H,G){8cm}
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](I,H,G)
\tkzLabelAngle[pos=.7](I,H,G){$60^{\circ}$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
	\tkzDefPoints{0/0/L, -2.5/0/K}
\tkzDefPoint(120:4.23){J}
\tkzDrawPolygon(J,K,L)
\tkzLabelPoints[below](K,L)
\tkzLabelPoints[above](J)
\tkzLabelSegment[below](K,L){5cm}
\tkzLabelSegment[left](K,J){8cm}
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](J,L,K)
\tkzLabelAngle[pos=.7](J,L,K){$60^{\circ}$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm, yshift=2cm, rotate=70]
	\tkzDefPoints{0/0/N, -2.5/0/O}
\tkzDefPoint(120:4){M}
\tkzDrawPolygon(M,N,O)
\tkzLabelPoints[below](O)
\tkzLabelPoints[above](M,N)
\tkzLabelSegment[right](N,O){5cm}
\tkzLabelSegment[above](M,N){8cm}
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](M,N,O)
\tkzLabelAngle[pos=.7](M,N,O){$60^{\circ}$}
\end{scope}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/S, 5.2/3/T, 5.73/0/V}
\tkzLabelPoints[below](S,V)
\tkzLabelPoints[above](T)
\tkzLabelSegment[left](S,T){12cm}
\tkzMarkAngles[size=.8, mark=none](V,S,T)
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](S,T,V)
\tkzLabelAngle[pos=1.2](V,S,T){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](S,T,V){$70^{\circ}$}
\tkzDrawPolygon(S,T,V)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
	\tkzDefPoints{0/0/Q, 4.96/2.865/P, 6/0/R}
\tkzLabelPoints[below](Q,R)
\tkzLabelPoints[above](P)
\tkzLabelSegment[below](Q,R){12cm}
\tkzMarkAngles[size=.8, mark=none](R,Q,P)
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](P,R,Q)
\tkzLabelAngle[pos=1.2](R,Q,P){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](P,R,Q){$70^{\circ}$}
\tkzDrawPolygon(P,R,Q)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{tikzpicture}[scale=.8]
	\tkzDefPoints{0/0/X, 0.53/3/Z, 5.73/0/Y}
\tkzLabelPoints[below](X,Y)
\tkzLabelPoints[above](Z)
\tkzLabelSegment[right](Y,Z){12cm}
\tkzMarkAngles[size=.8, mark=none](Z,Y,X)
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](Y,X,Z)
\tkzLabelAngle[pos=1.2](Z,Y,X){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](Y,X,Z){$70^{\circ}$}
\tkzDrawPolygon(Z,Y,X)
\end{tikzpicture}

\item 指出下列哪些情况$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是全等的．
\begin{enumerate}
\item $\overline{AB}=\overline{A'B'},\quad \angle B=\angle B',\quad \angle A=\angle A'$
\item $\overline{AB}=\overline{A'B'},\quad \overline{AC}=\overline{A'C'}, \quad \angle A=\angle A'$
\item $\overline{AB}=\overline{A'B'},\quad \overline{BC}=\overline{B'C'},\quad \overline{AC}=\overline{A'C'}$
\item $\angle A=\angle A',\quad \angle B=\angle B',\quad \angle C=\angle C'$
\item $\overline{AB}=\overline{A'B'},\quad  \angle B=\angle B',\quad \angle C=\angle C'$
\item $\overline{AB}=\overline{A'B'},\quad \overline{BC}=\overline{B'C'},\quad \angle A=\angle A'$
\end{enumerate}

\item 如图，画一条线段$\overline{AB}=5$cm, 画$\angle BAC=30^{\circ}$, $\angle ABD=30^{\circ}$连$CD$交$AB$于$M$点，如果$M$点恰好是$AB$的
中点，那么$\triangle AMC$和$\triangle BMD$全等吗？为什么？

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/A}
\tkzDefPoint(70:2){C}
\tkzDefPoint(40:2.5){M}
\tkzDefPointWith[linear,K=2](A,M) \tkzGetPoint{B}
\tkzDefPointWith[linear,K=2](C,M) \tkzGetPoint{D}
\tkzLabelPoints[below](A,M,D)
\tkzLabelPoints[above](B,C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.5](M,A,C M,B,D)
\tkzDrawPolygon(M,A,C)
\tkzDrawPolygon(M,B,D)
\tkzLabelAngle[pos=.8](M,A,C){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](M,B,D){$30^{\circ}$}

    \end{tikzpicture}
    \caption*{第3题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/4ti.png}
    \caption*{第4题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 要测量河的宽度$\overline{AB}$, 在岸上先作一条线段$\overline{AA'}$垂直于
$\overline{AB}$, 并且取$\overline{AA'}$的中点$C$, 过$A'$作$A'E\bot AA'$, 沿$A'E$
的方向前进到点$B'$, 测得$B'$、$C$、$B$恰好成一直线，那么
量出哪一条线段的长就可知道河宽$\overline{AB}$？ 为什么？


\item 试举出一些日常生活中应用三角形稳定性的实例．
\item 通过度量，指出下列各图中全等的三角形．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{-1.5/0/B, 1.5/0/C, -.8/2/A, .8/2/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzInterLL(A,C)(B,D)  \tkzGetPoint{O}
\tkzLabelPoints[below](B,C,O)
\tkzLabelPoints[above](A,D)
\tkzDrawSegments(A,C B,D)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
	\tkzDefPoints{-1.5/0/F, 1.5/0/G, -1.5/2/E, 1.5/2/H}
\tkzDrawPolygon(E,F,G,H)
\tkzInterLL(E,G)(F,H)  \tkzGetPoint{P}
\tkzLabelPoints[below](F,G,P)
\tkzLabelPoints[above](E,H)
\tkzDrawSegments(E,G F,H)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8cm]
	\tkzDefPoints{-1.5/0/N, 1.5/0/R, 2.5/2/S, -.5/2/M}
\tkzDrawPolygon(M,N,R,S)
\tkzInterLL(M,R)(N,S)  \tkzGetPoint{Q}
\tkzLabelPoints[below](N,R,Q)
\tkzLabelPoints[above](M,S)
\tkzDrawSegments(M,R N,S)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第6题}
\end{figure}
\end{enumerate}


\section{相似和相似比}

\subsection{相似形}
在日常生活和生产实践中，我们经常看到和用到形状相
同但大小不一定相同的图形、例如地图、测量图、放大和缩
小的照片等，虽然图形的大小有了变化，但都保持原来的形
状．我们把这一类形状相同，大小不一定相同的图形叫做\textbf{相
似形}．下面以多边形为例，来研究一下相似图形的一些重要
性质．
\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\begin{scope}
	\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 0/3/A, 3/3/D}
	\tkzLabelPoints[below](B,C)
	\tkzLabelPoints[above](A,D)
	\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
	\tkzDefPoints{0/0/B', 2/0/C', 0/2/A', 2/2/D'}
	\tkzLabelPoints[below](B',C')
	\tkzLabelPoints[above](A',D')
	\tkzDrawPolygon(A',B',C',D')
\end{scope}		
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

我们观察所有正方形，发现它们的形状都是相同的，在
图1.57中的两个正方形$ABCD$和$A'B'C'D'$中，它们的角
对应地相等，它们的边虽不一样长，但对应边的比都是相等
的：
\[\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{C'D'}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{D'A'}}\]

在图1.58中，长方形和正方形相比较，虽然它们的角
对应地相等，但边长不成比例，因此形状也就不相同了．

在图1.59中，让两个四边形边长的比都是1:1, 但各角
不对应地相等，形状也就不同．


\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw (0,0)rectangle(2,3);
\draw (2.5,0)rectangle(3.75,1.25);
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/0/A, 1/0/B, 0/1.3/C, 0/-1.3/D}
\tkzDrawPolygon(A,D,B,C)
		\draw (-3.3,-.8)rectangle(-1.5,1); 
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

	通过以上的观察分析，我们可推测，两个多边形相似的
	特征是：\textbf{对应角相等，对应边成比例}．

	两个相似多边形对应边的比叫做\textbf{相似比}，也叫做\textbf{放大率}
	或\textbf{缩小率}．

	如果把一个多边形的边长放大或缩小相同的倍数，并且
	对应角保持不变，那么所得的图形就和原图形相似．如图
	1.57中的正方形$ABCD$可看成正方形$A'B'C'D'$的角保持
	不变，边长放大$\frac{3}{2}$倍而得到的与$A'B'C'D'$相似的图形．

	我们用符号“$\backsim$”表示两个图形相似，就可写成：正方
	形$ABCD\backsim$正方形$A'B'C'D'$.

	很明显，全等形是相似比等于1的相似形，所以全等形
	是相似形的特殊情况．

\begin{example}
	在比例尺为1:50000的地图上，长度12cm的实际距离是多少公里？
\end{example}

\begin{solution}
$\because\quad \frac{\text{图距}}{\text{实距}}=\text{比例尺}$

$\therefore\quad \text{实距}=\frac{\text{图距}}{\text{比例尺}}=\frac{12{\rm cm}}{\frac{1}{50000}}=12\x 50000{\rm cm}=6{\rm km}$
\end{solution}

\begin{example}
	在比例尺为1:500000的地图
上有四个点$A$、$B$、$C$、$D$, $\overline{AB}=2{\rm cm}$,
$\overline{BC}=3{\rm cm}$, $\overline{CD}=4{\rm cm}$, $\overline{DA}=5{\rm cm}$. 
求四边形$ABCD$在地面上的实际周长
是多少公里？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 3/2/C, .5/4/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[above](C,D)
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
	设$A$、$B$、$C$、$D$各点在地面上
的对应点分别是$A'$、$B'$、$C'$、$D'$. 因
为地图上的四边形$ABCD$与地面上的四
边形$A'B'C'D'$是相似形，并且相似比为1:500000.

$\therefore\quad \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{C'D'}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{D'A'}}=\frac{1}{500000}$

$\therefore\quad \overline{A'B'}=500000\overline{AB},\quad \overline{B'C'}=500000\overline{BC},\quad \overline{C'D'}=500000\overline{CD},\quad \overline{D'A'}=500000\overline{DA}$

因此：
\[\begin{split}
	\overline{A'B'}+\overline{B'C'}+\overline{C'D'}+\overline{D'A'}&=500000\left(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\right)\\
	&=500000(2+3+4+5) {\rm cm}\\
	&=500000\x 14{\rm cm}=70{\rm km}
\end{split}\]
答：四边形$ABCD$在地面上的实际周长是70公里．
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 由地图上的比例尺，计算由北京到天津，北京到上海，北京到广州的实际距离是多少公里？
	\item 把下面的正方形的边长放大3倍，画在作业纸上.
	\item 把下面的长方形各边长缩小到原长的$\frac{1}{3}$，画在作业纸上.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw(0,0) rectangle (1,1); 
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第2题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\draw(0,0) rectangle (2,1.2); 
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第3题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\subsection{相似三角形}
由多边形相似的特征性质可知，如果两个三角形的各角
对应相等，且对应边成比例，那么这两个三角形相似．但实
际上，当我们要判定两个三角形是否相似时，并不要求对上
条件一一验证．例如，我们作$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$, 使
$\angle A=\angle A'$, $\angle B=\angle B'$, 于是$\angle C=\angle C'$. 这时我们就看
到两个三角形的形状就完全相同
了，我们还可以多画几组三角形，
使每组三角形的两个角对应地相等
（第三个角自然也相等），不难看
出每组三角形的形状也都是相同的，这就使我们猜测：是否有下面
的结论：

\begin{blk}{}
	如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似．
\end{blk}

\begin{figure}[htp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=.6]
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C,1.5/4/A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
	\tkzDefPoints{0/0/C', 3/0/B',1.5/4/A'}
	\tkzDrawPolygon(A',B',C')
	\tkzLabelPoints[below](B',C')
	\tkzLabelPoints[above](A')
\end{scope}	
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

在这里，让我们来做些实验，对于上面的观察所得到的
结论的正确性作进一步的检验．
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
	\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A,3/0/B, 2/2/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[above](C)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.5cm]
\tkzDefPoints{0/0/A',9/0/B', 6/6/C'}
\tkzDrawPolygon(A',B',C')
\tkzLabelPoints[below](A',B')
\tkzLabelPoints[above](C')
\tkzDefPointWith[linear, K=.333](A',B') \tkzGetPoint{M_1}
\tkzDefPointWith[linear, K=.667](A',B') \tkzGetPoint{M_2}

\tkzDefPointWith[linear, K=.333](A',C') \tkzGetPoint{M_1'}
\tkzDefPointWith[linear, K=.667](A',C') \tkzGetPoint{M_2'}

\tkzDefPointWith[linear, K=.333](C',B') \tkzGetPoint{M_1''}
\tkzDefPointWith[linear, K=.667](C',B') \tkzGetPoint{M_2''}
\tkzDrawSegments(M_2'',M_1' M_1'',M_2' M_1,M_1' M_2,M_2' M_1'',M_1 M_2'',M_2)
\tkzInterLL(M_1'',M_1)(M_2,M_2') \tkzGetPoint{O}
\tkzLabelPoints[below](M_1,M_2,O)
\tkzLabelPoints[left](M_1',M_2')
\tkzLabelPoints[right](M_1'',M_2'')
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=15cm]
\tkzDefPoints{0/0/A'',3/0/B, 2/2/C}
\tkzDefPointWith[linear, K=2](A'',B) \tkzGetPoint{B''}
\tkzDefPointWith[linear, K=2](A'',C) \tkzGetPoint{C''}
\tkzDrawPolygon(A'',B'',C'')
\tkzDefMidPoint(C'',B'') \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawPolygon(D,B,C)
\tkzLabelPoints[above](C'')
\tkzLabelPoints[below](A'', B'')

\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

在图1.62中，若$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的两个角对应相
等，（$\angle A=\angle A'$、$\angle B=\angle B'$）而且$\overline{A'B'}=3\overline{AB}$, 
显然
第三个角也必相等（$\angle C=\angle C'$）, 如果我们能说明
$\overline{A'C'}=3\overline{AC}$, $\overline{B'C'}=3\overline{BC}$, 那么$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$就
相似了．下面我们通过作图、测量作些实验．

先把$\overline{A'B'}$三等分成和$\overline{AB}$相等的线段，然后通过分点
${M_1}$和$M_2$作$\overline{B'C'}$和$\overline{A'C'}$
的平行线，设这些平行线与
$\overline{A'C'}$和$\overline{B'C'}$分别相交于$M_1'$、$M_2'$, $M_1''$、$M_2''$，通过测
量得知，
\[\overline{A'M_1'}=\overline{M_1'M_2'}=\overline{M_2'C'},\quad \overline{B'M_2''}=\overline{M_2''M_1''}
=\overline{M_1''C'}\]
而且还发现$\overline{M_1M_1''}$，$\overline{M_2M_2'}$、$\overline{M_1'M_2''}$相
交于一点$O$, 并且
\[\begin{split}
	\overline{M_2'M_1''}&=\overline{M_1'O}=\overline{OM''_2}=\overline{A'M_1}\\
	\overline{M_1M_1'}&=\overline{M_2O}=\overline{OM_2'}=\overline{B'M_3''}\\
	\overline{M_2M_2''}&=\overline{M_1O}=\overline{OM_1''}=\overline{A'M_1'}
\end{split}\]
这样，由两个三角形的全等条件（SSS）可知
$\triangle ABC$被分割成的九个小三角形全等．这就说明了$\overline{A'C'}=3\overline{AC}$, $\overline{B'C'}=3\overline{BC}$. 这就是说$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.

假如$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$有两个角对应地相等．
（$\angle A'=\angle A''$, $\angle B'=\angle B''$）
且$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{A''B''}}=\frac{3}{2}$
，即$\overline{A'B'}=\frac{3}{2}\overline{A''B''}$，
这时我们是否能够推断：
$\overline{A'C'}=\frac{3}{2}\overline{A''C''}$, $\overline{B'C'}=\frac{3}{2}\overline{B''C''}$呢？

由于$\triangle A''B''C''$和$\triangle ABC$的三个角对应地相等（
$\angle A=\angle A''$, $\angle B=\angle B'$, $\angle C=\angle C'$），而且$\overline{A''B''}=2\overline{AB}$，
那么由上面的说明，就有$\overline{A''C''}=2\overline{AC}$, $\overline{B''C''}=2\overline{BC}$. 
即：
\[\begin{split}
	\overline{A'B'}&=3\overline{AB}=\frac{3}{2}\overline{A''B''}\\
	\overline{A'C'}&=3\overline{AC}=\frac{3}{2}\overline{A''C''}\\
 \overline{B'C'}&=3\overline{BC}=\frac{3}{2}\overline{B''C''}
\end{split}
	\]
这就说明了$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.

在两个相似三角形中，相等的角叫做\textbf{对应角}，相等的角
所对的边叫做\textbf{对应边}．两个相似三角形的\textbf{对应角相等，对应
边成比例}．

我们所猜想的“两个三角形的两个角若对应地相等，则
这两个三角形相似．”通过上面的检验；在相似比为整数或
分数时是成立的．但两个线段长度的比还可能是无理数，这
个问题在这里不深入讨论了．从上面的讨论中，我们还可发
现：
\[\begin{split}
	\frac{\triangle A'B'C'\text{的面积} }{\triangle ABC\text{的面积}}&=\frac{9}{1}=\left(\frac{3}{1}\right)^2\\
	\frac{\triangle A'B'C'\text{的面积} }{\triangle A''B''C''\text{的面积}}&=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\\
\end{split}\]
即：\textbf{如果两个三角形相似，则它们的面积的比等于相似
比的平方}．


\begin{example}
	在图1.63中的两个三角形相似吗？
\end{example}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[rotate=-20]
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C}
\tkzDefPoint(80:3.48){A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](C,B,A B,A,C)
\tkzLabelAngle[pos=.7](C,B,A){$80^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.7](B,A,C){$45^{\circ}$}
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)

\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm, scale=.7, rotate=-20]
	\tkzDefPoints{0/0/B', 3/0/C'}
\tkzDefPoint(80:3.48){A'}
\tkzDrawPolygon(A',B',C')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.7](A',C',B' B',A',C')
\tkzLabelAngle[pos=1](A',C',B'){$55^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=1](B',A',C'){$45^{\circ}$}
\tkzLabelPoints[below](B',C')
\tkzLabelPoints[above](A')
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
	$\triangle ABC$中

$\because\quad \angle A=45^{\circ},\quad \angle B=80^{\circ}$

又$\because\quad $三角形的三个角之和为$180^{\circ}$, 

$\therefore\quad \angle C=55^{\circ}$，这样$\angle A'=\angle A=45^{\circ}$, $\angle C'=\angle C=55^{\circ}$

$\therefore\quad \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$
\end{solution}

有一个角是直角的三角形叫做\textbf{直角三角形}．在两个直角
三角形中，因为有一个直角对应相等，所以只要再各有一个
锐角对应地相等，这两个直角三角形就相似了．

\begin{example}
	设树身在地面上的影长为4米，同时一根2米长的
竹杆，直立于地面上，影长为1.5米，求树高．
\end{example}

\begin{solution}
	直立于地面的物体和影子垂直，故物体及其影子和
光线成直角三角形．因为平行光线和地面的夹角都相等，所
以这两个直角三角形相似，于是对应边成比例．

设树高为$h$, 则$\frac{h}{2}=\frac{4}{1.5}$

$\therefore\quad h=2\x4\div 1.5\approx 5.33{\rm m}$

答：树高5.33米．
\end{solution}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-64.png}
	\caption{}
\end{figure}


\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.5]{fig/1-2ti.png}
    \caption*{第2题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.5]{fig/1-3ti.png}
    \caption*{第3题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 在下列的$\square \square \square $之中填上适当的词或数：
\begin{enumerate}
\item 形状相同的图形叫做$\square \square \square $．
\item 两个相似三角形对应边长的比为2:3,那么这两个三
	角形的相似比为$\square : \square $，这两个三角形面积的比为$\square : \square $．
\end{enumerate}

	\item 某时刻，烟囱的
	影长$\overline{AB}=54$米，这时在地面上立一根
	长为2米的竹竿$\overline{B'C'}$, 它的影长$\overline{B'A'}=1.8$米，求烟囱
	的高．
	\item 某人站在河岸位置$A$, 要测量$A$点到对岸$B$点的距离，
	测得$\overline{AC}=50$米，$\angle BAC=60^{\circ}$, $\angle BCA=40^{\circ}$, 试以
	1cm代表10米（即以$\frac{1}{1000}$的比例尺），在纸上画出图
	来，然后量出$\overline{AB}$的长，再计算$\overline{AB}$的实际长度．
\end{enumerate}
\end{ex}


\section*{习题1.4}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.4}
\begin{enumerate}
	\item 已知$\triangle ABC\backsim \triangle BDC$, 试写出它们的对应边和对应角
	来．
\item 如图，$AB$、$CD$交于$E$点，$\angle D=\angle B$, $\triangle AED$与$\triangle CEB$
	是否相似？如果相似，试指出它们的对应边和对应角．


\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
\tkzDefPoints{0/0/C, 3/0/B, 3/4/A}
\tkzDefPointBy[projection= onto A--C](B) \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawPolygon(A,C,B)
\tkzDrawSegments(B,D)
\tkzMarkRightAngles[size=.2](A,B,C B,D,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[left](D)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第1题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoint(50:3){D}
\tkzDefPoint(140:2){A}
\tkzDefPoint(-40:2.1){B}
\tkzDefPoint(50+180:1.4){C}
\tkzDefPoint(0,0){E}
\tkzDrawPolygon(A,D,C,B)
\tkzLabelPoints[left](A,C)
\tkzLabelPoints[right](B,D,E)
\tkzMarkAngles[size=.4, mark=none](A,D,E E,B,C)
    \end{tikzpicture}
    \caption*{第2题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 如图，试找出图中的所有相似三角形．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/C, 3/0/D, 5/0/E, 6/2.3/F}
\tkzDefPointsBy[translation= from E to F](D){A}
\tkzDrawPolygon(C,E,F,A)
\tkzLabelPoints[below](C,D,E)


\tkzLabelPoints[above](A,F)
\tkzDrawSegments(A,D D,F)
\tkzDefPointWith[linear, K=.7](C,A)\tkzGetPoint{B}
\tkzDefPointWith[linear, K=.7](D,F)\tkzGetPoint{G}
\tkzDrawSegments(B,D A,G)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.6](D,C,B F,D,A D,F,E)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](C,A,D A,G,D A,F,D A,D,B)
\tkzLabelAngle[pos=1](D,C,B){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,D,B){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](F,D,A){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](D,F,E){$30^{\circ}$}

\tkzLabelAngle[pos=.8](C,A,D){$40^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,G,D){$70^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,F,D){$40^{\circ}$}

\tkzLabelPoints[above](B)
\tkzLabelPoints[below](G)

    \end{tikzpicture}
    \caption*{第3题}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/1-4ti.png}
    \caption*{第4题}
    \end{minipage}
    \end{figure}

\item 某人民公社准备开山修渠（如图）$\overline{BC}$是其中的一段，
测得$\overline{AC}=44$m, $\overline{AB}=50$m, $\angle BAC=55^{\circ}$, 试用$\frac{1}{1000}$
的比例尺把地面上的三角形划在纸上，再量出纸上$\overline{BC}$的
长，计算$B$、$C$两点间的实际距离（精确到米）．

\item 在$\triangle ABC$中，$\angle B=55^{\circ}$, $\angle C=85^{\circ}$, 试作一个三角
形和$\triangle ABC$相似，这样作出的与$\triangle ABC$相似的三角形能
有多少个？
\end{enumerate}

\section{基本作图}
同学们已画过一些简单的几何图形，当时所用的画图工
具有直尺、圆规、三角板、量角器等．在这一节里，我们将
介绍只用直尺（没有刻度的）和圆规来画出几个简单几何图
形的方法．这些图形及其画法，以后经常使用，一般把它们
叫做基本作图题．

\subsection{作一条线段与已知线段相等}
已知：线段$a$ (图1.65).

求作：一段线等于$a$.
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[|-|](0,0)--node[above]{$a$}(1.5,0);
\draw[thick, ->](0,-1)--(4,-1)node[right]{$A$};
\draw[|-|](0,-1)node[below]{$O$}--(1.5,-1)node[below]{$B$};
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


作法：
\begin{enumerate}
\item 任作一条射线$OA$,
\item 以$O$为圆心，$a$为半径画弧，交$OA$于$B$, 则
$OB$为所求．
\end{enumerate}




\subsection{作一个角与已知角相等}
已知：$\angle O$.

求作：一角等于$\angle O$.
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\draw(40:3)--(0,0)node[left]{$O$}--(3,0);
\draw(-5:2) arc (-5:50:2);
\node at (40:2)[above]{$A$};
\draw[dashed](2,0)node[below right]{$B$}--(40:2);
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
	\draw(40:3)--(0,0)node[left]{$O'$}--(3,0)node[right]{$X$};
	\draw(-5:2) arc (-5:50:2);
	\node at (40:2)[above]{$A'$};
	\draw[dashed](2,0)node[below right]{$B'$}--(40:2);
\tkzDefPoint(2,0){B'}
\tkzDefPoint(40:2){A'}
\tkzCompass[color=black](B',A')

\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

作法：（图1.66）
\begin{enumerate}
	\item 作一射线$O'X$;
	\item 以$O$为圆心任意长为半径作一圆弧，交$\angle O$的两
	边于$A$、$B$两点；
	\item 不改变半径，以$O'$为圆心作一圆弧，交$O'X$于$B$
	点；
	\item 以$B'$为圆心，$\overline{BA}$为半径作一圆弧，与前一圆弧交
	于$A'$点；
	\item 作射线$O'A'$，则$\angle A'O'B'$就等于$\angle O$.
\end{enumerate}

理由：由作法可知：

$\because\quad \overline{OA}=\overline{O'A'},\quad \overline{OB}=\overline{O'B'},\quad \overline{AB}=\overline{A'B'}$

$\therefore\quad \triangle AOB\cong \triangle A'O'B'$（SSS）

$\therefore\quad \angle A'O'B'=\angle O$.

\subsection{已知三边作三角形}

已知：三条线段$a$、$b$、$c$.

求作：一三角形使其三边长分别等于$a$、$b$、$c$.
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
	\draw(0,0)--node[above]{$c$}(3,0);
	\draw(0,1)--node[above]{$b$}(2.5,1);
	\draw(0,2)--node[above]{$a$}(4,2);
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\tkzDefPoints{0/0/B, 4/0/C}
\tkzDefPoint(38.62:3){A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelSegment[left](A,B){$c$}
\tkzLabelSegment[right](A,C){$b$}
\tkzLabelSegment[below](C,B){$a$}
\tkzCompass[color=black](B,A)
\tkzCompass[color=black](C,A)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


作法：（图1.67）
\begin{enumerate}
	\item 作$\overline{BC}=a$
	\item 分别以$B$、$C$为圆心，$c$、$b$为半径在$\overline{BC}$的同
	旁作两条弧，它们相交于$A$点．
	\item 连结$\overline{AB}$、$\overline{AC}$, 则$\triangle ABC$为满足已知条件的三角形．
\end{enumerate}

\begin{rmk}
	如果已知条件中，$b+c\le a$或$a+b\le c$或$a+c\le 
b$, 则作不成三角形．图1.68是$b+c\le a$的情况．
\end{rmk}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A, 5/0/B, 3/0/C}
\tkzDrawSegments[|-|](A,B)
\tkzLabelSegment[above](A,C){$b$}
\tkzLabelSegment[above](B,C){$c$}
\tkzLabelSegment[below](A,B){$a$}
\tkzCompass[color=black](A,C)
\tkzCompass[color=black](B,C)

\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
	\tkzDefPoints{0/0/A, 5/0/B, 3/1/C}
\tkzDefPoint(30:2){D}


\tkzDrawSegments(A,B A,D B,C)
\tkzLabelSegment[below](A,B){$a$}
\tkzLabelSegment[above](B,C){$c$}
\tkzLabelSegment[above](A,D){$b$}
\tkzCompass[color=black, delta=35](A,D)
\tkzCompass[color=black, delta=35](B,C)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\subsection{已知两角及夹边作三角形}
已知：$\angle \alpha$、$\angle \beta$及线段$a$.

求作：$\triangle ABC$, 使$\angle B=\angle \alpha$, $\angle C=\angle \beta$, $\overline{BC}=a$.

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\draw(0,2)--node[above]{$a$}(4,2);
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 3/0/C, 5/0/D}
\tkzDefPoint(45:2){B'}
\tkzDrawSegments(A,B A,B')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](B,A,B')
\tkzLabelAngle[pos=.5](B,A,B'){$\alpha$}
\tkzDefPoint(5,1.5){D'}
\tkzDrawSegments(C,D C,D')
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](D,C,D')
\tkzLabelAngle[pos=.5](D,C,D'){$\beta$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
\tkzDefPoints{0/0/B, 4/0/C}
\tkzDefPoint(45:2.42){A}
\tkzDrawLines[add=0 and .25](B,A C,A)
\tkzDrawSegments(B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelSegment[below](B,C){$a$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](C,B,A){$\alpha$}
\tkzLabelAngle[pos=.8](A,C,B){$\beta$}
\node at (1,2.5){$Y$};
\node at (2.3,2.5){$X$};
\tkzDefPoint(45:1.5){B'}
\tkzDefPoints{1.5/0/B'', 2.5/0/C''}
\tkzDrawArc[color=black, delta=15](B,B'')(B')
\tkzCompass[color=black](B'',B')
\tkzDefPoints{2.5/0/C', 2.8/.9/C''}
\tkzDrawArc[color=black, delta=15](C,C'')(C')
\tkzCompass[color=black](C',C'')

\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

作法：（图1.69）
\begin{enumerate}
\item 作$\overline{BC}=a$,
\item 作$\angle XBC=\angle \alpha$,
\item 作$\angle YCB=\angle \beta$,
\item 射线$BX$与射线$CY$相交于$A$点．
\end{enumerate}
则$\triangle ABC$即为所求作的三角形．

理由：请同学们自己说明．

\begin{rmk}
	如果已知条件中的$\angle\alpha$与$\angle\beta$的大小不适当
（$\angle\alpha+\angle \beta\ge 180^{\circ}$）, 射线$BX$与射线$CY$不相交，这时就作
不出三角形．如图1.70所示．
\end{rmk}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
	\tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, 1.5/2/X, 3.5/2/Y}
\tkzDrawSegments[->](B,X C,Y)
\tkzDrawSegments(B,C)
\tkzLabelSegment[below](B,C){$a$}
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](X,Y)
\tkzMarkAngles[mark=none,size=.4](C,B,X Y,C,B)
\tkzLabelAngle[pos=.6](C,B,X){$\alpha$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](Y,C,B){$\beta$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
	\tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, -1/2/X, 3/2/Y}
	\tkzDrawSegments[->](B,X C,Y)
	\tkzDrawSegments(B,C)
	\tkzLabelSegment[below](B,C){$a$}
	\tkzLabelPoints[below](B,C)
	\tkzLabelPoints[above](X,Y)
	\tkzMarkAngles[mark=none,size=.3](C,B,X Y,C,B)
	\tkzLabelAngle[pos=.5](C,B,X){$\alpha$}
	\tkzLabelAngle[pos=.5](Y,C,B){$\beta$}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}

\subsection{作已知角的平分线}

已知：$\angle AOB$

求作：$\angle AOB$的平分线．（在$\angle AOB$内部，以$O$为端
点作一条射线，使它把$\angle AOB$分成相等的两个角，这条射
线就是$\angle AOB$的平分线．）

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(40:4){A}
\tkzDefPoint(-10:4){B}
\tkzDefPoint(15:4){C'}
\tkzDefPoint(40:1.5){A'}
\tkzDefPoint(-10:1.5){B'}
\draw(A') arc (40:-10:1.5);
\tkzDefPoint(15:3){C}
\tkzDrawSegments(O,A O,B O,C')
\tkzLabelPoints[right](A,B)
\tkzLabelPoints[above](A')
\tkzLabelPoints[below](B')
\tkzDrawSegments[dashed](A',C B',C)
\tkzLabelPoints[left](O)
\tkzCompass[color=black](A',C)
\tkzCompass[color=black](B',C)
\tkzLabelPoints[above right](C)

\end{tikzpicture}
	\caption{}
\end{figure}


作法：（图1.71）
\begin{enumerate}
\item 以点$O$为圆心，任意
长为半径作弧，交$\angle AOB$的两边
于$A'$、$B'$两点．
\item 再分别以$A'$、$B'$为圆心，以$OA'$为半径作两条弧交于$C$点．
\item 作射线$OC$, 
则射线$OC$即为所求的$\angle AOB$的平分线．
\end{enumerate}

理由：根据作法，在$\triangle A'OC$和$\triangle B'OC$中，

$\because\quad \overline{OC}=\overline{OC},\quad \overline{OB'}=\overline{OA'},\quad \overline{A'C}=\overline{B'C}$

$\therefore\quad \triangle A'OC\cong \triangle B'OC$, (SSS)

$\therefore\quad \angle A'OC=\angle B'OC$. （全等三角形对应角相等）

\begin{rmk}
	我们把平分角的射线叫做\textbf{角的平分线}．如果给定
的是一个平角，那么这个角的平分线和这个平角的两条边有什么关系？
\end{rmk}

\subsection{过已知直线上一点，作一直线和已知直线垂直}

已知：直线$\ell$和$\ell$上一点$P$ (图1.72)

求作：过$P$点并且垂直于直线$\ell$的直线．

作法：
\begin{enumerate}
	\item 以点$P$为圆心，任意
长为半径作弧交$\ell$于$A$、$B$两点．
\item  分别以$A$、$B$为圆心，以大于$\overline{AB}$的一半为半径作两条弧交于$Q$点，
\item  过$Q$、$P$作直线$QP$, 则直线$QP\bot\ell$于$P$点．
\end{enumerate}

理由：请同学们自己说明．

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
\tkzDefPoints{-2/0/A', -1.5/0/A, 1.5/0/B, 0/0/P, 2/0/B', 0/2.5/Q}
\draw(A) arc (180:0:1.5);
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzDrawLines(P,Q)
\tkzLabelPoints[below right](P)
\tkzLabelPoints[right](Q)
\tkzLabelPoint[right](B'){$\ell$}
\tkzCompass[color=black](A,Q)
\tkzCompass[color=black](B,Q)
\tkzDrawSegments(A',B')
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1.5/0/A', -1/0/A, 1/0/B, 0/1.5/P, 1.5/0/B', 0/-2/Q, .5/0/C}
\tkzDrawSegments(A',B')
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[above](C)
\tkzLabelPoints[right](P)
\tkzLabelPoints[below right](Q)
\tkzLabelPoint[right](B'){$\ell$}
\tkzDrawPoints(P,C)
\tkzDrawArc[delta=10, black](P,A)(B)
\tkzCompass[color=black](A,Q)
\tkzCompass[color=black](B,Q)
\tkzDrawLines(P,Q)
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\subsection{过已知直线外一点作已知直线的垂线}
已知：直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.73),

求作：过$P$点并且垂直于$\ell$的直线．

作法：
\begin{enumerate}
\item 以$P$为圆心，在$\ell$上任
意取$C$点，以大于$\overline{PC}$长的线段为
半径画弧交于$\ell$于$A$、$B$两点；
\item 分别以$A$、$B$为圆心，以
$\overline{AB}$为半径画两条弧相交于$Q$点；
\item 过$P$、$Q$作直线$PQ$, 则直线$PQ$即为所求作的垂线．
\end{enumerate}

理由：（略）

\subsection{求已知线段的中点}

已知：$\overline{AB}$(图1.74).

求作：$\overline{AB}$的中点．

作法：
\begin{enumerate}
\item 分别以$A$、$B$为圆心，以$\overline{AB}$为半径画两条弧
交于$P$、$Q$两点．
\item 过$P$、$Q$两点作直线交$\overline{AB}$于$M$点，则$M$点就是$\overline{AB}$
的中点．
\end{enumerate}

\begin{rmk}
	这种作法和作$\overline{AB}$的垂线的作法一致，因而直线
	$\overline{PQ}$不仅平分$\overline{AB}$, 还垂直$\overline{AB}$,因此我们把$\overline{PQ}$叫做$\overline{AB}$的垂
直平分线．线段的垂直平分线的一般意义可表述为：垂直且
平分一条线段的直线叫做这条\textbf{线段的垂直平分线}．
\end{rmk}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
	\tkzDefPoints{-1.5/0/A, 1.5/0/B, 0/1.5/P,  0/-1.5/Q, 0/0/M}
\tkzDrawSegments(A,B)
\tkzDrawLines(P,Q)
\tkzCompass[color=black](A,Q)
\tkzCompass[color=black](B,Q)
\tkzCompass[color=black](A,P)
\tkzCompass[color=black](B,P)
\tkzLabelPoints[below](A,B)
\tkzLabelPoints[below right](M)
\tkzLabelPoints[right](P,Q)
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/P', 2/0/M', 1/1.5/P, 1/0/R'}
\tkzDefPoint(56.3:1){Q'}
\tkzDefPointsBy[translation= from P' to P](M',Q',R'){M,Q,R}
\tkzDrawLines(P,M P',M')
\tkzDrawLines[add= .4 and 1](P',P)
\tkzDrawArc[color=black, delta=10](P,R)(Q)
\tkzDrawArc[color=black, delta=10](P',R')(Q')
\tkzLabelPoints[left](Q)
\tkzLabelPoints[below](P,P')
\tkzCompass[color=black](Q,R)
\tkzLabelPoints[above right](M)
\tkzLabelPoint[above right](M'){$\ell$}
\tkzLabelAngle[pos=.4](M',P',Q){$\alpha$}
	\end{tikzpicture}
	\caption{}
	\end{minipage}
	\end{figure}


\subsection{过已知直线外一点作已知直线的平行线}
已知；直线$\ell$和$\ell$外一点$P$(图1.75).

求作：过$P$点作一直线和$\ell$平行．

作法：
\begin{enumerate}
\item 在直线$\ell$上任取一点$P'$.
\item 过$P$、$P'$作直线$PP'$.
\item 作$\angle QPM=\angle\alpha$.
\end{enumerate}
则直线$PM$和$\ell$平行．

理由：由作法$\angle QPM=\angle\alpha$，
所以直线$PM\parallel \ell$（同位角相等则两条直线平行）．



\begin{ex}
\begin{enumerate}
	\item 已知线段$a,b$, 求作一线段等于$a+b$; $a-b\; (a>b)$.
	\item 任意画一个$\triangle ABC$, 利用它的三边之长再画一个三角形
$A'B'C'$, 使得$\triangle A'B'C'\cong \triangle ABC$.
	\item 先任意画一个$\angle \alpha$, 再画一个$\angle \beta$, 使得$\angle \beta=\angle\alpha$.
	\item 任意
	画一个$\angle ABC$, 试作$\angle ABC$的平分线．
	\item 已
	知$\angle \alpha$ (小于$180^{\circ}$), 和两条线段$m,n$, 求作一个
	$\triangle 
	ABC$, 使得$\angle A=\angle \alpha$, $\overline{AB}=m$, $\overline{AC}=n$.
	\item 已知$\overline{AB}$, 作$\overline{AB}$的垂直平分线．
	\item 已知$\triangle ABC$, 过$A,B,C$分别作$\overline{BC}$, $\overline{AC}$, $\overline{AB}$所在的
	直线的垂线．
	\item 画一个平角$\angle AOB$, 再将$\angle AOB$二等分，四等分．
	\item 将$\overline{AB}$四等分．
	\item 过$\triangle ABC$各顶点分别作对边的平行线．
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, 3.5/2.5/A}
\tkzDrawLines(A,C A,B)
\tkzDrawLines[add=.5 and 1](B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[right](A)
\end{tikzpicture}
	\caption*{第7题}
\end{figure}

\section*{习题1.5}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题1.5}
\begin{enumerate}
	\item 作一个角等于：$\angle\alpha+\angle \beta$；$\angle\alpha-\angle \beta$.
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.5/1.2/C}
\tkzDrawSegments(A,B A,C)
\tkzDefPoints{4/0/A', 5.5/0/B', 5.5/1.3/C'}
\tkzDrawSegments(A',B' A',C')

\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](B,A,C B',A',C')
\tkzLabelAngle[pos=.6](B,A,C){$\alpha$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B',A',C'){$\beta$}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第1题}
\end{figure}
	\item 作一个三角形，使其两个角分别等于$\angle\alpha$、$\angle \beta$, $\angle \alpha$
	的对边等于已知线段$a$.
	\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
	\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 1.5/1.2/C}
	\tkzDrawSegments(A,B A,C)
	\tkzDefPoints{4/0/A', 5.5/0/B', 5.5/1.3/C'}
	\tkzDrawSegments(A',B' A',C')
	
	\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](B,A,C B',A',C')
	\tkzLabelAngle[pos=.6](B,A,C){$\alpha$}
	\tkzLabelAngle[pos=.6](B',A',C'){$\beta$}

	\draw(0,2)--node[above]{$a$}(2.5,2);
\end{tikzpicture}
	\caption*{第2题}
\end{figure}

	（提示：先设法作出要作的三角形的第三个角，然后再
	利用基本作图题4的方法作图）

	\item 作一个三角形的各边的垂直平分线，看是否相交于一点．
	\item 作一个三角形的三个内角的平分线，看是否交于一点．
	\item $P$是$\triangle ABC$内一点，过$P$作三边的垂线．
	\item 试作下列花纹图形：
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=.7]
\begin{scope}
\draw(0,0) rectangle (2,2);
\draw(2,0) rectangle (4,2);
\draw(4,0) rectangle (6,2);

\foreach \x in {0,2,4}
{
	\draw(\x+1,0)--(\x+1,2);
	\draw(\x,0) arc (-90:90:1);
	\draw(\x,0) arc (180:0:1);
	\draw(\x,2) arc (90:-90:1);
	\draw(\x,2) arc (180:360:1);
    \draw(\x+2,0) arc (270:90:1);
}
\draw(0,1)--(6,1);

\end{scope}

\begin{scope}[xshift=10cm]
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B,1/1.732/C}
\foreach \x in {A,B,C}
{
	\draw(\x) circle (1);
}
\tkzDrawPolygon[fill=white](A,B,C)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm, yshift=-3cm]
	\draw(0,0)circle(2);
\draw(30:2) arc (90:210:2);
\draw(30:2) arc (-30:-150:2);
\draw(-30:2) arc (-90:-210:2);
\draw(-30:2) arc (30:150:2);
\draw(90:2) arc (30:-90:2);
\draw(-90:2) arc (-30:90:2);

\end{scope}

\begin{scope}[xshift=6cm, yshift=-3cm]
\draw(2,0)circle(2);
\foreach \x in {1,2,3}
{
	\draw(0,0) arc (180:0:\x/2);
	\draw(4,0) arc (0:-180:\x/2);
}
\draw(0,0)--(4,0);
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=14cm, yshift=-3cm]
	\draw(0,0)circle(2);
\draw(-2,0)--(2,0);
\draw(0,-2)--(0,2);
\foreach \x in {0,2}
{
	\draw(\x-2,0) arc (-180:0:.5);
	\draw(\x-1,0) arc (180:0:.5);
	\draw(0,\x) arc (90:270:.5);
	\draw(0,\x-1) arc (90:-90:.5);
}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第6题}
\end{figure}
\end{enumerate}

\section*{小结}

在这一章实验几何中，我们对于常见、常用的空间的某
些基本概念如位置、通路、方向、全等、相似等作了分析，
从而确立了一系列的几何概念如点、直线、平面；射线、
角、平行；长度、角度、全等形、相似形等等．我们还通过
观察与实验，分析与归纳，从而总结出空间的一些性质如
“两点确定一条直线”、“不共线三点确定一个平面”等
等，这些都是以后进一步研究几何学的基础，为了便于以后
查看，我们把本章所述的几何概念和性质列举如下\footnote{基本作图题就不再列出了．}：

\subsection*{点、直线、平面及其相互关系}

\begin{blk}
	{概念} 点是位置的反映；线是通路的反映；线段是两点
间的最短通路；直线是线段向两端无限延伸而得到的图形．
\end{blk}

\begin{blk}
	{性质}
\begin{enumerate}
	\item 两点确定一条直线．
	\item 当一个平面包含两个点$A$、$B$时，它也就包含整条直线$AB$.
	\item 空间不共线三点确定一个平面．
	\item 两个相交平面的交线是一条直线，对于空间一条
	给定的直线，存在着无数个包含这条直线的平面．
\end{enumerate}
\end{blk}

\subsection*{射线、角、平行与三角形}

\begin{blk}
	{概念} 直线上一点一旁的部分叫做射线．一条以点$A$为
端点的射线表示由$A$点出发的一个方向；以同一点为端点的
两条射线所组成的图形叫做角，它体现了这两条射线所表示
的两个方向之间的差别；同一平面上的两条直线被一条直线
所截，如果同位角相等，就称这两条直线互相平行；两个形
状和大小完全相同的图形叫做全等形，两个平面图形全等的
实践检验方法就是它们完全重合；两个形状相同大小不一定
相同的图形叫做相似形；两个多边形相似的条件是它们的角
对应相等，对应边成比例．
\end{blk}

\begin{blk}{性质}
\begin{enumerate}
	\item 两条线段全等的唯一条件就是它们的长度相
	等．
	\item 两个角全等的唯一条件就是它们的角度相等．
	再者，在平面内给定一条射线$AB$和$\angle \alpha$, 在直线$AB$两侧
	分别存在着唯一的一条射线$AC$和$AC'$, 使得$\angle BAC=
	\angle BAC'=\angle\alpha$
	\item 三角形的三个内角和是一个平角．
	\item 过直线$\ell$外一点$P$只有一条直线和$\ell$平行．
	\item 在同一平面内，过已知点作已知直线的垂线只
	有一条．
	\item 两个三角形如果有两边一夹角分别对应相等，
	它们就全等（SAS）.
	\item 两个三角形如果有两角一夹边分别对应相等，
	它们就全等（ASA）.
	\item 两个三角形如果三条边分别对应相等，它们就
	全等（SSS）.
	\item 两个三角形如果有两个角对应相等，它们就相
	似．
	\end{enumerate}
\end{blk}

\section*{复习题一}
\addcontentsline{toc}{section}{复习题一}
\begin{enumerate}
	\item $A$、$B$、$C$、$D$是依此顺序位于一条直线上的四个点，并
且$\overline{AB}=\overline{BD}$, $\overline{BC}=\overline{CD}$, 把下列各组线段的长度关系，
分别用式子表示：
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
	\item $\overline{AB}$和$\overline{BC}$
	\item $\overline{AB}$和$\overline{AD}$
	\item $\overline{AD}$和$\overline{CD}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 射线$AB$和射线$BA$所表示的方向是否相同？
\item 两点间的距离是什么？一点到一条直线的距离是什么？
\item 在四边形$ABCD$内找一点$P$, 使得$P$点到$A$、$B$、$C$、$D$
四顶点的距离之和最短？你猜想这一点在什么位置？并用
线是两点间的最短通路来说明你的猜想？
\item 在$\triangle ABC$中，如果$\overline{AB}=\overline{AC}$, 并且$P_1$、$P_2$是$\overline{BC}$上任
意两点，那么：
\begin{enumerate}
\item 量出$P_1$点到$\overline{AB}$、$\overline{AC}$两边的距离之和；
\item 量出$P_2$点到$\overline{AB}$、$\overline{AC}$两边的距离之和；
\item 比较一下(a)与(b)所得的结果，你能作出什么
猜想？
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 2.5/-.2/C, 3/1/D, 2/1.5/A}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[right](D)
\tkzLabelPoints[above](A)   
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第4题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 1.5/2/A, .7/0/P_1, 1.7/0/P_2}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C,P_1,P_2)
\tkzLabelPoints[above](A)   
\tkzDrawPoints(P_1,P_2)

	\end{tikzpicture}
	\caption*{第5题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\item 在一个平面上三条直线的位置关系有几种情况？
\item 长24cm的线段，被分成不相等的四部分，首尾两部分
的中点间的距离是20cm, 求中间两部分中点间的距离是多
少厘米？
\item 如果时针和分针组成$7^{\circ}30'$的角，而分针指着
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item 3;
		\item 9
	\end{enumerate}
\end{multicols}
那么现在是几点钟？
\item 两个角度数的比为7:3, 差为$72^{\circ}$, 这两个角是否互为
补角？
\item 如图，已知$\angle ABC$和$\angle CBD$互为补角，$EB\bot AB$, $\angle ABC=92^{\circ}$, $BF$是$\angle CBD$的平分线，求$\angle EBF$是多少
度？
\item 已知$\angle AOB$被$OC$分成两部分，这两部分的差是$30^{\circ}$, 
$\angle AOB$的平分线是$OM$, 求$\angle COM$的度数．
\item 五个点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$排列在一条直线上，而且$D$点
在$A$点右边4m的地方，$C$点在$E$点右边5m的地方，又$B$
点在$E$点左边5m的地方，$B$点在$A$点左边4m的地方，
问：
\begin{enumerate}
	\item 正好在中间的是那个点？
	\item $D$点在$E$点右边
多少米远的地方？
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/0/A, 0/0/B, 3/0/D, 0/3/E}
\tkzDefPoint(88:3){C}
\tkzDrawLine[bisector](C,B,D)  \tkzGetPoint{F'}
\tkzDefPointWith[linear, K=2](B,F')  \tkzGetPoint{F}
\tkzDrawSegments(A,D B,E B,C B,F)
\tkzLabelPoints[below](A,B,D)
\tkzLabelPoints[right](C,F)
\tkzLabelPoints[left](E)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第10题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
		\tkzDefPoints{-2/0/A, 0/0/O, 2/0/B}
\tkzDefPoint(70:2.5){C}
\tkzDrawLine[bisector](C,O,B)  \tkzGetPoint{E'}
\tkzDrawLine[bisector](A,O,C)  \tkzGetPoint{D'}
\tkzDefPointWith[linear, K=1.56](O,E')  \tkzGetPoint{E}\tkzDefPointWith[linear, K=2](O,D')  \tkzGetPoint{D}
\tkzLabelPoints[below](A,B,O)
\tkzLabelPoints[right](C,E)
\tkzLabelPoints[left](D)
\tkzDrawSegments(A,B D,O C,O E,O)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第13题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\item 已知$\angle AOC$和$\angle COB$互为补角，$OD$、$OE$分别是
$\angle AOC$和$\angle COB$的平分线，那么
\begin{enumerate}
	\item $OD$是否垂直$OE$？为什么？
	\item $\angle AOD$与$\angle BOE$是否互余？为什么？
\end{enumerate}

\item 在已知$\triangle ABC$中，$\angle B=\angle C$, $\angle A=4\angle B$, 问$\angle A$, $\angle B$、$\angle C$各等于多少度？
\item 已知$\triangle ABC$中，$\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3$, 求$\angle A$、
$\angle B$、$\angle C$各等于多少度？
\item 在$\triangle ABC$中，$\angle A=60^{\circ}$, $\angle B=\angle C$, 如果$\angle B$、$\angle C$
的平分线相交于$O$点，问$\angle BOC$等于多少度？
\item 已知如图，在$\triangle ABC$中，
$\overline{BA}\bot \overline{AC}$, $\overline{AD}\bot \overline{BC}$, $\angle BAD=30^{\circ}$, 求$\angle x$, $\angle y$, $\angle z$的
度数？
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
	\tkzDefPoints{0/0/B, 4/0/C, 1/1.732/A, 1/0/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(A,D)
\tkzMarkRightAngle[size=.15](A,D,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C,D)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](C,B,A B,A,D A,C,B)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.25](D,A,C)
\tkzLabelAngle[pos=.4](C,B,A){$y$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B,A,D){$30^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.4](A,C,B){$z$}
\tkzLabelAngle[pos=.4](D,A,C){$x$}

\end{tikzpicture}
	\caption*{第17题}
\end{figure}

\item 求图中$\angle\alpha$, $\angle\beta$的大小．

\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, -1/0/A', 4/0/B'}
\tkzDefPoint(70:4){C}
\tkzDrawSegments(A,C B,C)
\tkzDrawLines[add=.5 and .5](A,B)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](C,A,A' B',B,C)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.4](A,C,B)
\tkzLabelAngle[pos=.6](C,A,A'){$110^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B',B,C){$100^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](A,C,B){$\alpha$}
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=5cm]
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 1.2/2.6/A, 2.7/1/D, -1/0/B', 4/0/C'}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawLines[add=.25 and .25](C,B)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[right](D)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.3](A,B,B' C',C,D A,D,C B,A,D)
\tkzLabelAngle[pos=.6](A,B,B'){$120^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](C',C,D){$100^{\circ}$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](A,D,C){$\beta$}
\tkzLabelAngle[pos=.6](B,A,D){$88^{\circ}$}


\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第18题}
\end{figure}

\item 已知$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$, 当$A$点和$B$点相重合
折叠时，设折痕为$\overline{DE}$, 那么$\angle EBC=\angle C$, 为什么？
\item 已知如图，直线$EF$, $GH$和直线$MN$相交于$A,B$, $AC$
平分$\angle MAF$, $BD$平分$\angle ABH$, 并且$\angle MAF=\angle ABH$, 问：
\begin{enumerate}
	\item $EF$与$GH$是否平行？为什么？
	\item $AC$与$BD$是否平行？为什么？
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 3/0/C, 0/4/A}
\tkzDefMidPoint(A,B)\tkzGetPoint{D}
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{E}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPolygon[pattern=north east lines](B,D,E)
\tkzLabelPoints[right](E)
\tkzLabelPoints[left](D)
\tkzLabelPoints[below](B,C)
\tkzLabelPoints[above](A)

	\end{tikzpicture}
	\caption*{第19题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/1/G, 3/1/H, -1/2.5/E, 3/2.5/F, -.5/0/N, 2/4/M}
\tkzDrawSegments(E,F G,H M,N)
\tkzInterLL(E,F)(M,N)  \tkzGetPoint{A}
\tkzInterLL(G,H)(M,N)  \tkzGetPoint{B}
\tkzLabelPoints[left](E,G)
\tkzLabelPoints[right](F,H)
\tkzLabelPoints[above left](A,B)
\tkzLabelPoints[above](M)
\tkzLabelPoints[below](N)
\tkzDefLine[bisector, normed](M,A,F) \tkzGetPoint{C'}
\tkzDefLine[bisector, normed](M,B,H) \tkzGetPoint{D'}
\tkzDefPointWith[linear,K=2](A,C')\tkzGetPoint{C}
\tkzDefPointWith[linear,K=2](B,D')\tkzGetPoint{D}
\tkzDrawSegments(A,C B,D)
\tkzLabelPoints[right](C,D)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第20题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

	\item 已知如图，并且$\angle 1=\angle 2$, 那么$\ell$是否平行$m$？为什
么？
\item 已知：
\begin{enumerate}
	\item $\overline{AB}=5$cm, $\overline{AC}=38$cm, $\angle A=54^{\circ}$
	\item $\overline{AB}=4$cm, $\angle A=42^{\circ}$, $\angle B=58^{\circ}$
	\item $\overline{AB}=2.5$cm, $\overline{BC}=3.4$cm, $\overline{CA}=4$cm
	\item $\angle C=90^{\circ}$, $\overline{CA}=3$cm, $\overline{AB}=5$cm
\end{enumerate}
求作$\triangle ABC$.

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{-1/1/G, 3/1/H, -1/2.5/E, 3/2.5/F, -.5/0/N, 2/4/M}
\tkzDrawSegments(E,F G,H M,N)
\tkzInterLL(E,F)(M,N)  \tkzGetPoint{A}
\tkzInterLL(G,H)(M,N)  \tkzGetPoint{B}
\node at (F)[right]{$\ell$};
\node at (H)[right]{$m$};
\tkzMarkAngles[size=.3, mark=none](M,A,E M,B,G N,A,F)
\tkzLabelAngle[pos=.6](M,A,E){3}
\tkzLabelAngle[pos=.6](M,B,G){2}
\tkzLabelAngle[pos=.6](N,A,F){1}
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第21题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/3.5/A, -1.5/0/D, 1.5/0/E}
\tkzDefPointWith[linear, K=.6](A,D)\tkzGetPoint{B}
\tkzDefPointWith[linear, K=.6](A,E)\tkzGetPoint{C}
\tkzLabelPoints[left](B,D)
\tkzLabelPoints[right](C,E)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzDrawPolygon(A,D,C)
\tkzDrawPolygon(A,B,E)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第23题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\item 已知如图，如果$\overline{AB}=\overline{AC}$, $\overline{AD}=\overline{AE}$, 那么$\triangle ADC$
与$\triangle AEB$是否全等？为什么？

\item 已知如图，如果$\overline{AB}=\overline{DC}$, $\overline{AC}=\overline{DB}$, 那么$\triangle ABC$与
$\triangle DCB$是否全等？为什么？

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/.8/B, 0/-.8/C, 2.5/1.5/A, 2.5/-1.5/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPolygon(D,B,C)
\tkzLabelPoints[left](B,C)
\tkzLabelPoints[right](A,D)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第24题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/3/A, -1.5/0/B, 1.5/0/C, -.5/0/D, .5/0/E}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPolygon(A,D,E)
\tkzLabelPoints[below](B,C,D,E)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzMarkAngles[mark=none, size=.26](C,B,A A,C,B A,D,B C,E,A)
\tkzLabelAngle[pos=.4](C,B,A){1}
\tkzLabelAngle[pos=.4](A,C,B){2}
\tkzLabelAngle[pos=.4](A,D,B){3}
\tkzLabelAngle[pos=.4](C,E,A){4}
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第25题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

	\item 已知如图，$\angle 1=\angle 2$, $\angle 3=\angle 4$, $\overline{BE}=\overline{CD}$, 问：
\begin{enumerate}
	\item $\triangle ABD$与$\triangle ACE$是否全等？为什么？
	\item $\triangle ABE$与$\triangle ACD$是否全等？为什么？
\end{enumerate}

\item 任画一个$\triangle ABC$, 再画一个$\triangle A'B'C'$, 使$\triangle A'B'C'\cong \triangle ABC$, 想想看能有几种画法？
\item 任画一个四边形$ABCD$, 怎样画一个四边形$A'B'C'D'$
与四边形$ABCD$全等？（用叠合法检验）
\item 已知如图$\overline{AC}\bot \overline{BC}$, $\overline{FD}\bot \overline{AB}$, $\angle A=\angle F$, 问：$\triangle ABC$
与$\triangle FED$是否相似？为什么？
\item 已知如图，在$\triangle ABC$中，$\overline{BA}\bot \overline{AC}$, $\overline{AD}\bot \overline{BC}$, 问：
\begin{enumerate}
	\item $\triangle ABD$与$\triangle CAD$是否相似？为什么？
	\item $\triangle ABD$与$\triangle CBA$是否相似？为什么？
	\item $\triangle ACD$与$\triangle BCA$是否相似？为什么？
\end{enumerate}

\begin{figure}[htp]\centering
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
  \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
\tkzDefPoints{0/0/B, 4/0/C, 4/3/A}
\tkzDefPointWith[linear, K=.3](A,B) \tkzGetPoint{E}
\tkzDefPointsBy[translation = from C to E](B){F'}
\tkzDefPointWith[linear, K=.5](E,F') \tkzGetPoint{F}
\tkzDefPointBy[projection = onto A--B](F) \tkzGetPoint{D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPolygon(D,E,F)
\tkzMarkRightAngles[size=.2](F,D,E A,C,B)
\tkzLabelPoints[below](B,C,E,D)
\tkzLabelPoints[left](F)
\tkzLabelPoints[right](A)

	\end{tikzpicture}
	\caption*{第28题}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
\tkzDefPoints{0/0/B, 4/0/C, 1/1.732/A, 1/0/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(A,D)
\tkzMarkRightAngles[size=.15](A,D,C B,A,C)
\tkzLabelPoints[below](B,C,D)
\tkzLabelPoints[above](A)
	\end{tikzpicture}
	\caption*{第29题}
	\end{minipage}
	\end{figure}

\item 过$\triangle ABC$的三个顶点，分别作对边的平行线，两两分
别交于$D$、$E$、$F$三点，试通过观察猜想、检验，你能对
$\triangle ABC$与$\triangle DEF$的关系作出哪些结论？
\item 观察下列各图，归纳出$n$边形对角线条数的公式．（提
示：注意$n$边形边数与每一个顶点所引出的对角线数的关
系）
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\begin{scope}
\node at (1,-.5){(1)};
\tkzDefPoints{0.2/0/A, 1.2/0/B, .9/1.2/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)

\end{scope}
	\begin{scope}[xshift=2cm]
\node at (1,-.5){(2)};
\tkzDefPoints{0.2/0/A, 1.2/0/B, 1.8/.6/C,.7/1.2/D}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawSegments(A,C B,D)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.5cm]
\node at (.5,-.5){(3)};
\tkzDefPoints{0.2/0/A, 1.2/0/B, 1.6/.8/C,.7/1.2/D, -.2/.7/E}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D,E)
\tkzDrawSegments(A,C A,D B,D B,E C,E)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=7cm]
\node at (.5,-.5){(4)};
\tkzDefPoints{0.2/0/A, 1.2/0/B, 1.6/.6/C,1.2/1.2/D, .2/1.2/E, -.2/.6/F}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D,E,F)
\tkzDrawSegments(A,C A,D A,E B,D B,E B,F C,E C,F D,F)


\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第31题}
\end{figure}

边数$n:\; 3,4,5,6,\ldots$

对角线总条数$S:\; 0,2,5,9,\ldots$

\item 今有$n$个球队参加比赛，规定每两队各赛一场，求比赛
总场数的公式．（参看下图，可以利用31题的结果）
\begin{figure}[htp]
	\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
\begin{scope}
	\node at (1,-.5){(1)};
\tkzDefPoints{.8/0/A, 1.2/1.5/B}
\tkzDrawSegments(A,B)
\tkzDrawPoints(A,B)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=2cm]
	\node at (.5,-.5){(2)};
	\tkzDefPoints{0/0/A, .6/1.5/B, 1.2/0/C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
	\node at (.5,-.5){(3)};
	\tkzDefPoints{0/0/A, 1.2/0/B, 1/1.5/C, .2/1.5/D}
	\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
	\tkzDrawPoints(A,B,C,D)
	\tkzDrawSegments(A,C B,D)
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
	\node at (.5,-.5){(4)};
	\tkzDefPoints{0.2/0/A, 1.2/0/B, 1.6/.8/C,.7/1.2/D, -.2/.7/E}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D,E)
\tkzDrawSegments(A,C A,D B,D B,E C,E)
\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E)
\end{scope}
\end{tikzpicture}
	\caption*{第32题}
\end{figure}

参加比赛的队数 $n:\; 2,3,4,5,\ldots$
比赛的总场数 $\ell:\; 1,3,6,10,\ldots$

\end{enumerate}